Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.1 Ч.2
 
djvu / html
 

150 ГЛАВА XI. КРИВЫЕ ДВОЙНОЙ КРИВИЗНЫ § 218
218. Радиус кривизны. Пусть будет ш угол между положительными направлениями МТ, М'Т' касательных в двух близких между собою
точках М, М' кривой Г. Предел, к которому стремится частное —
при неограниченном приближении точки М' к точке М, называется, как и в случае плоских кривых, кривизною кривой Г в точке М. Количе-
. arc MM ство, обратное кривизне, т. е. равное пределу частного ---------- , называется радиусом кривизны. Радиус кривизны можно определить иначе как предел отношения бесконечно малых дуг ММ' и mm'; в самом деле, мы имеем:
arc MM' arc MM' arc mm' mm'
ш arc mm mm ш
, tuv, mm mm
а при приближении m' к m каждое из отношении __ — , -- имеет
mm' о)
пределом единицу. Так как дуги s~MM' и a=mm' изменяются в одинаковом направлении, то мы имеем:
Пусть будут
*=/('), У = ЧЮ, * = (*) . (20)
уравнения кривой Г, причем точка О взята за начало координат. Тогда координатами (а, [5, у) точки m будут направляющие косинусы касательной МТ:
_ dx „ __ dy _ dz
a==ds' t = -ds> Y— &;•
Отсюда имеем:
dy d?s J
rf-2 — d 2 -J. dRJ J_ d •>—
Возводя в квадрат и принимая во внимание выражения для ds2 и dsd2s, получим:
] — (dx d*
Вводя обозначения A = dyd2Z~dzdzy, В = dz d*x — dx d^z, C= dxd*y — dyd*x, (21)
которыми мы далее будем пользоваться, и применяя тождество Ла-гранжа, мы можем представить предыдущее выражение в виде:
^^Ч-Д2 + с2
ds*

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 170 180 190 200 210 220 230


Математика