Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.1 Ч.2
 
djvu / html
 

130 ГЛАВА X. ТЕОРИЯ ОГИБАЮЩИХ § 207
секающую кривую С в трех точках, близких к точке А; если мы будем непрерывно изменять кривую С' так, чтобы все три точки пересечения наконец совпали с точкою А, то в своем предельном положении кривая С будет иметь прикосновение второго порядка с кривою С, и, построив чертеж, легко видеть, что о,бе кривые будут перекрещиваться в точке А. Очевидно, что такое же рассуждение применимо и во всех других случаях.
Если, как это и будет в общем случае, уравнения обеих кривых не решены относительно у и Y, то, пользуясь правилами для вычисления производных от неявных функций, можно составить необходимые условия, при которых две кривые будут иметь прикосновение л-го порядка; таким образом эта задача не представляет никаких особых трудностей. Мы рассмотрим только несколько частных случаев, встречающихся наиболее часто. Предположим, что координаты точек каждой из двух кривых выражены в функции переменного параметра:
где х и X суть одинаковые функции от t и и. Пусть при некотором
частном значении t0 мы имеем:
так что обе кривые касаются друг друга в точке А с координатами f(t0), tp (g. Предположим, что здесь f (t0) не равна нулю; тогда общая касательная к обеим кривым в точке А не будет параллельна оси Оу, и мы получим точки обеих кривых, имеющие одну и ту же абсциссу, полагая u = t. С другой стороны, так как разность х — х0 первого порядка относительно t — 10, то задача приводится подобно предыдущему к вычислению порядка малости разности ф (t) — ср (У) относительно t — ?0. Следовательно, чтобы кривые С, С1 имели прикосновение не ниже л-го порядка, необходимо и достаточно, чтобы было
Ф (Л) = <р Со), Ф' С0) = <рг Со), • • • ' Ф(л) Со) = <е(й) Со); (4°)
если при этом производные ф(я+1)(д и (Р(я''"*)(^о) не Равны между собою, то прикосновение будет как раз л-го порядка.
Рассмотрим еще тот случай, когда кривая С представлена двумя уравнениями:
х =
тогда как кривая С' дана уравнением Р(х, у)-=0. Этот случай можно привести к предыдущему. Заменим в F(x,y) переменное х через f(t); пусть будет y = fy(t) неявная функция, определяемая соотношением:

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230


Математика