Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.1 Ч.2
 
djvu / html
 

которую мы делаем, заменяя S через Sn , была меньше любого наперед заданного числа. Достаточно знать верхний предел f?n , чтобы оценить полученное приближение. Ясно, чтэ на практике лишь те ряды являются пригодными для фактического вычисления, у которых ff достаточно быстро стремится к нулю.
14Э. Ряды с положительными членами. Ряды, все члены которых положительны, имеют большое значение, и мы начнем с их рассмотрения. В каждом таком ряде сумма Sn возрастает вместе с п; поэтому для того, чтобы ряд был сходящимся, достаточно, чтобы при всяком п •эта сумма Sn оставалась меньшею некоторого определенного количества. Самый общий прием для решения вопроса о сходимости или расходимо-<ти ряда состоит в сравнении предложенного ряда с другим рядом, уже исследованным ранее. Этот прием основан на двух следующих предложениях:
1. Если все члены какою-нибудь знакоположительного ряда соот-вгтственно меньше или равны членам другого знакоположительного сходящегося ряда, то и первый ряд также сходящийся.
В самом деле, сумма Sn первых п членов предложенного ряда, оче-.видно, меньше суммы S' второго ряда; следовательно, эта сумма Sn имеет предел S, меньший S'.
2. Если все члены какого-нибудь знакоположительного ряда соответственно больше членов другого знакоположительного раскодяще-гося ряда, то первый ряд также расходящийся.
В самом деле, сумма п первых членов первого ряда больме суммы л первых членов второго ряда, и, следовательно, она неограниченно возрастает вместе с п.
Можно также сравнивать два ряда другим способом, осно»ываясь на следующей лемме. Пусть будуп
•два знакоположительных ряда. Если ряд (U) сходящийся, и если,
1) U
начиная с некоторого указателя п, мы постоянно имеел, -^— <^— 5— •*,
Vn Un
то ряд (V) также сходящийся. Если ряд (U) расход1Щийся, и если,
и„., ^г/ ,, .начиная с некоторого указателя п, мы постоянно имегм - 4i1<^_«-f ,
Un ^п
то ряд (V) такжг расходящийся.
Чтобы доказать первую часть предложения, предположим, что нера-
1) U
'венство -Л±1<^-Д±3 удовлетворяется для п^р. Так как, умножив все
®п ип
члены ряда на постоянный множитель, мы не изме»им ни сходимости •ряда, ни отношения любого члена ряда к предыдущему члену, то мы можем предположить, что f <^м ; тогда мы буд*м, очевидно, иметь •fj,+1<«p4.1, затем г/,+2 < ир+2, и т. д. Следовательно, ряд (V) — схо-,дяш.ийся. Вторая часть леммы доказывается таким же способом.
Таким образом, если нам дан знакоположительный ряд, характер которого относительно его сходимости известен то, пользуясь предыдущими предложениями, мы можем сравнивать с ним другие знакополо-

 

1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230


Математика