Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гильберт Д.N. Основания математики Теория доказательств
 
djvu / html
 

70 ИСКЛЮЧЕНИЕ СВЯЗАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. I
из Q* до тех пор, пока не будут удалены все функциональные знаки и не останется результирующее значение из Q*. Теперь мы сопоставим элементарным формулам
a = b, Gr(a, b, с), Zw(a, b, с), ab=cb
соответствующие им арифметические высказывания. Пусть f, I, m и п суть комплексные числа, соотнесенные термам a, b, с и b соответственно в силу предыдущих соглашений. Тогда:
Формула a = b будет считаться истинной или ложной в зависимости от того, имеет или не имеет место арифметическое равенство f = I между числами f и I из Q*.
Формула Gr (a, b, с) будет считаться истинной или ложной в зависимости от того, является или не является действительным
комплексное число (f — [)-(m — n).
Формула Zw (a, b, с) будет считаться истинной или ложной в зависимости от того, является или не является положительным
число (f — ()-(m — n).
Формула ab = cb будет считаться истинной или ложной в зависимости от того, верно или не верно равенство |f — I =|m —n|.
Теперь с помощью элементарных арифметических рассуждений можно убедиться, что в соответствии с принятыми определениями каждая из наших аксиом оказывается верифицируемой, т. е. 'дает истинную (в смысле нашего определения) формулу, если каждую входящую в нее свободную переменную всюду, где она встречается, заменить каким-либо постоянным термом. Тем самым, опираясь на нашу нп-теорему, мы получаем искомое доказательство непротиворечивости для сформулированных выше геометрических аксиом соединения, порядка, конгруэнтности и аксиомы о параллельных.
Примененный здесь метод доказательства равным образом может быть применен и для установления непротиворечивости неевклидовой геометрии (опять-таки без аксиом непрерывности).
Если мы снова ограничимся случаем плоской геометрии, то в качестве системы аксиом для неевклидовой геометрии можно будет взять систему, получающуюся из рассмотренной нами системы аксиом евклидовой геометрии в результате замены аксиомы о параллельных следующей аксиомой'):
«Для всякой точки а, лежащей вне прямой, определенной двумя отличными друг от друга точками b и с, существуют точки р и q, не лежащие с а на одной прямой и расположенные так, что ни прямая ар, ни прямая ад не имеют общей точки с пря-
*) См. «Основания геометрии» Гильберта, Добавление III, акиома IV, с. 162 7-го издания (с. 232 русск. перев.).

 

1 10 20 30 40 50 60 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650


Математика