Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гильберт Д.N. Основания математики Теория доказательств
 
djvu / html
 

360 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
бы две формулы, одна из которых является отрицанием другой [и которые, следовательно, имеют номера л и е (?,)], обе были выводимы в F*, то для некоторых двух чисел f и Г, являющихся номерами соответствующих доказательств, имели бы место отношения S3* (f, 3) и 33* (I, e(j)). Однако по определению выражения 33* эти условия не могут выполняться ни при f<(, ни при «f. Это чрезвычайно элементарное доказательство непротиворечивости F* может быть формализовано в F выводом формулы
33* (k, п)-^133*(/, e(n)),
и поскольку F не содержит в себе противоречия, то отсюда, как уже отмечалось выше, следует, что может быть получен вывод этой формулы и в F*. Таким образом, если F представляет собой непротиворечивый формализм, удовлетворяющий условиям а2) и б2), то в соответствующем формализме F* может быть доказана его собственная непротиворечивость.
Но это вовсе не означает какого-либо опровержения второй теоремы Гёделя. Действительно, эта теорема, как мы помним, содержит в качестве посылок условия 1, 2 и 3, наложенные на понятие выводимости, и мы не показали, что эти условия в F* выполнены. При ближайшем рассмотрении условие 1 для F* оказывается вообще неопределенным, так как в F* не определена выводимость одной формулы из другой.
Этот недостаток можно было бы устранить. Но в данном случае нам не нужно заниматься этим, так как можно показать, что условие 3 для F* не будет выполняться, если допустить, что формализм F непротиворечив. Действительно, условие 3 для F* утверждает, что если f (т) —какой-либо рекурсивный терм, а г — номер равенства f(a) = 0, то формула
f(m) = 0->3*23*(x, в (г, т))
выводима в F*. Тем более эта формула должна выводиться в F. Если, в частности, в роли f(/n) взять терм т — т, то равенство f (m) = 0 будет выводимо в рекурсивной арифметике, а потому и в F, так как этот формализм должен удовлетворять условию аа). Поэтому в F должна быть выводимой и формула
"Эх%*(х, $ (г, т)).
В подробной записи эта формула имеет вид Эх[ЗЭ(*. е (г, m))&V«VoVo>V2
(«=s?x&o=s?*&23(M, ш)&93(», г) -> гф t Из нее и из доказуемой формулы
55 (т, п) —>- ч < т

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650


Математика