Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гильберт Д.N. Основания математики Теория доказательств
 
djvu / html
 

340 ВЫХОД 8 А РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ /' [ГЛ. V
его изображение, в котором всеобщность будет/формализоваться с помощью свободной числовой переменной. /
При этом мы будем опираться на восходящий к Гёделю и ранее уже применявшийся метод использования функции б (k, I).
Мы строим формулу
133 (т, ё(а, а)),
которая, согласно предположению а^, является формулой формализма F. Пусть эта формула имеет номер р. Ввиду характеристического свойства функции в (k, l) значение с (р, р) является номером формулы
IS (m, «ft, *)).
Если этот номер равен q, TO равенство
выводимо в F, и поэтому формула ~|33(т, б(р, ?)) переводима в формулу 133 (т, q).
Формула ~] 23 (m, q) представляет собой формализацию высказывания «каково бы ни было число т, оно не является номером вывода формулы с номером q» или, короче, «формула с номером q невыводима». Терм б (\\ р) является выражением, определяющим цифру q. Следовательно, только что упомянутое высказывание формализуется и формулой
Так как, с другой стороны, эта формула имеет номер q, то она является искомой формулой, формализующей утверждение о своей собственной невыводимости.
А теперь уже можно рассуждать следующим образом. Допустим, что формула "1 23 (т, q) выводима в F. Тогда выводима и формула ~|33 (т, б(р, ?)), т. е. формула с номером q. Следовательно, можно указать список формул, являющийся выводом формулы с номером q. Если [ является номером некоторого такого списка, то имеет место отношение 23(t, q), которое является ну-мерически устанавливаемым равенством (или соответственно может быть преобразовано в такое равенство), и тогда формула S3 (I, q) выводима в F. Так как, с другой стороны, согласно сделанному предположению, выводима формула 1 23 (m, q), TO, согласно предположению ai), выводима и формула "133(1, q). Тем самым в формализме F появляется противоречие.
То же самое следствие получается и из предположения, что отношение 93 (I, q) имеет место для какой-либо цифры I. Действительно, если это отношение выполняется, то, с одной стороны, в F выводима формула 93(1, q). С другой стороны, в этом случае f является номером некоторого списка формул, представляющего

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650


Математика