Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гильберт Д.N. Основания математики Теория доказательств
 
djvu / html
 

250 е-СИМВОЛ И ЛОГИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ [ГЛ III
они больше нуля. Теперь покажем, что если это утверждение выполняется для всех чисел, меньших п, то оно выполняется и для п. Действительно, п либо принадлежит Зо, либо является значением одной из функций фь ..., cpg. В последнем случае — поскольку эти функции представляют собой разделяющую систему функций — число п однозначно определяет ту функцию и ту систему аргументов, для которой эта функция принимает значение п. Значения всех этих аргументов меньше «, так что к ним может быть применено наше индуктивное предположение. Итак, каждое число п единственным способом изображается функциональным выражением, построенным с помощью функциональных знаков фх, ..., фв, в котором самыми внутренними аргументами
являются числа из Зо-
А теперь, если в изображении числа п с помощью функциональных знаков фь ..., фа и чисел из Зо заменить всякое число из Зо символом а, а всякий функциональный знак ф; (t=l, ... ..., б) — соответствующим знаком %(, то у нас получится некоторое отображение, переводящее натуральные числа в элементы области J. Значение полученного таким образом выражения, являющееся элементом из J и однозначно определенное числом п, мы обозначим через т] (п).
Тогда для произвольных чисел пь ..., nc и для t = 1, ..., ё значение выражения т] (ф; (%.....пс)) будет совпадать со значением выражения XiOlfai). ..., t\(nf)). Кроме того, любая фигурирующая в 33 (?ь ..., ?с, Vi..... 9g) логическая функция
4?(fli, ..., (if), заданная в области J, определяет некоторую заданную на натуральных числах логическую функцию ф (т) (пг), ...
• ••, 'Ц («f))'> и если мы обозначим через S3* (?х.....?с, 9i.....%)
выражение, получающееся из S(?i, ..., ?с, tyi, .... 9g) в результате замены символов логических функций, заданных в области J, символами соответствующих им (только что указанным способом) логических функций, заданных на натуральных числах, то формула
Vsi...VSj59*(Si.....st, q>i(?i, .... sc), ••-, будет истинной в области натуральных чисел.
Итог этого вспомогательного рассмотрения теперь может быть выражен в виде следующего усиления теоремы Лёвенгейма1):
1) Метод доказательства этого вспомогательного утверждения позаимствован нами из работы В. Аккермана: Ackermann W. Beitrage zum Entscheidungs-problem der mathematischen Logik.—Math. Ann., 1936> 112, № 3, к которой примыкает и изложение Пепиша.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650


Математика