Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей Изд.2
 
djvu / html
 

40 ЗАДАЧА ИНТЕРПОЛЯЦИИ . [ГЛ. I
разность может быть представлена в виде
f(l) (f\
[x,Xl ----- Xn]=J—^l, (43)
где ? есть какая-то точка наименьшего сегмента [а, Ь], содержащего все точки х, xlt . . ., хп.
Весьма важное следствие этого представления есть то, что если f (n> (х) не меняет знака на некотором сегменте [а, Ь], содержащем точки х, х±, . . .,*„, то [х,хг, . . ,,х„] имеет -тот же знак, что и f(n) (х). Например, пусть / (х) = а.*, О < а < 1 . Предположим, что х0, х-1, . . ., хп имеют любые неотрицательные значения. Тогда для разделенной разности этой функции мы будем иметь неравенство
-~-
(44)
2. Второе представление разделенной разности и формула Ньютона при произвольных узлах интерполяции. Первое представление разделенной разности имеет смысл для действительных х, хъ . . ., хп. Допустим теперь, что х, хъ . . ., х„ — произвольные комплексные числа, a /(z) определена для z, изменяющегося в замкнутой области D, — наименьшей выпуклой области комплексной плоскости, содержащей все точки x,xlr...,xn. Эта область, очевидно, должна быть многоугольником, который в частном случае может выродиться в отрезок прямой. Допустим также что в области D f (z) имеет ограниченную п-ю производную. Рассмотрим функции Uk (х) (k = 1, 2, . . ., п):
... + (x-xk)tk]dt1...dtk (45) и положим u0(x) = f(x).
Аргумент функции /(/е) (z), стоящей под знаком й-кратного интеграла, как мы сейчас покажем, не выходит за пределы области D. Этот аргумент имеет вид
С* = *i + (*2 — *i) 'i + • • • + (Xk — xk-i) tk-i + (x — xk) tk = = (1 - /i) *i + (ti — tt)x,+ ...+ (tk-i — ti,)xk + tkx =
где 2 ^/ = 1 и X/ > 0, i = 1 ..... k + 1 , так как

 

1 10 20 30 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика