Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей Изд.2
 
djvu / html
 

32С
УРАВНЕНИЯ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
[ГЛ. V
Доказательство. Из теории определителей известно соотношение, связывающее этого типа определители (см., например, Г. Полна и Г. Сеге, Задачи и теоремы из анализа, т. II, стр. 109, ОНТИ, М. — Л., 1938), а именно, что
(x + 2)...f(x + k)
f(x)
f(x + k)...f(x + 2k-'. f(x+2) ...j
k-l)...f(x+2k-2)
f(x-rk+l) ...
k)...f(x + 2k-
откуда, положив для сокращения записи
Dlf(x),...,f(x + k)] = мы получим соотношение
Dk (x) D*_2 (х + 2) = Dk^ (x) Dk-! (x
2) — Dl_a (х+\).
По условию теоремы Dk(x) = 0; x = О, 1,..., значит, Di_j (x+l) = D*_! (x) DA_! (x + 2).
Но если для x = p ]> 1 , Dk-i (p) = 0, то из этого соотношения следует, что и для всех значений х= 1, 2 ..... Dk-i(x) = О, а это находится в противоречии с условиями теоремы.
Итак, Dk-i (x) =f= 0 ни для какого х = 1 , 2, ... Мы видим, что в этом случае выполнены условия теоремы IV и поэтому между функциями f(x),...,f(x + k) существует линейная зависимость с постоянными коэффициентами, в которую действительно входят как f (x), так и f(x-\-k), так как минорами этих элементов в детерминанте Dk (x) служат всюду отличные от нуля детерминанты ?*_!(* + 2) uDk_1(x+ 1).
Мы доказали достаточность наших условий. Их необходимость очевидна из первой части теоремы IV.
Если условия теоремы V выполняются, начиная с х = р, то и функции связаны линейной зависимостью при х^-р.
Эта теорема имеет большое значение при изучении рядов Тейлора с точки зрения распределения особенностей представляемых ими функций в комплексной области-
4. Свойства частных решений линейного однородного уравнения. Рассмотрим теперь некоторые свойства частных решений линейного однородного уравнения.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика