Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей Изд.2
 
djvu / html
 

3Q ЗАДАЧА ИНТЕРПОЛЯЦИИ [ГЛ. 1
Рассмотрим теперь какой-нибудь интервал (x'k , x'h). Подсчитаем число нулей функции R (х) в этом интервале. На основании условия выбора точек x'h следует, что функция R(x)
в рассматриваемом интервале должна иметь нулей по крайней мере
kq+l — kq — \.
Покажем, что кроме этих нулей непременно существует еще один. Условимся обозначать через sign Л единицу, взятую со знаком некоторого числа А. Тогда ясно [см. равенства (с) и (d)], что
sign % (x'kq+i) = (- 1)"<+1, sign R (x'h) = (- if".
Пусть числа kq+1 и kq одной четности, тогда знаки R(x) на концах интервала (x'k , x'h ) будут одинаковы, а это значит, что
в данном интервале R (х) должна обращаться в нуль четное число раз. Число тривиальных нулей kq+1 — kq — 1 при условии одинаковой четности чисел ^?+i и ^ч будет, очевидно, нечетным.
Итак, установлено наличие нечетного числа нулей функции R (х) в интервале (x'k , x'h ) и доказано, что их число должно
быть четным; значит, в рассматриваемом интервале должен быть прибавлен по крайней мере еще один нуль к числу найденных.
Предположим, что числа kg+1 и kq — разной четности, тогда знаки функции (л:) на концах интервала (x'h , x'h ) будут разные,
и значит, внутри этого интервала должно лежать нечетное число нулей функции R(x). С другой стороны, число тривиальных нулей функции R(x) останется тем, каким оно было установлено выше» т. е. kg4.! — kg— 1. Это число при условии, что числа fe?+1 и kq— различной четности, будет четным.
Итак, мы нашли в интервале (х'ь , х'ь) четное число нулей
K9+l Rq
и доказали, что полное число нулей в этом интервале должно быть нечетным; значит, там должен быть по крайней мере еще один нуль функции R(x).
Функция R (х) имеет, таким образом, во всяком интервале вида
(х, , х. ) v *?+i У
не менее чем &?+i— ky нулей.
После этих предварительных соображений перейдем к подсчету нулей функции R (х) на всем интервале (—1, + 1). Если &! = 0, то счет нулей начнется с интервала (x'k , x'k) и затруднений не представит. Количество их выразится числом kz — fei-Если же fei > 0, т. е. R(x) обращается в нуль для х = -f- 1, то встает еще вопрос о подсчете нулей в интервале (-(- l,*'fc). Оче-

 

1 10 20 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика