Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей Изд.2
 
djvu / html
 

270 СУММИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [гл. iv
Подставляя выражение Bs+1(x) из (14), получим
П—1 S+l „I D
V vs_ V as+l-k „k /ооч
2l * - Zl *|(s + l_A)|n • W
В следующем параграфе мы займемся изучением чисел и многочленов Бернулли, причем результаты, которые мы получим, представляют интерес независимо от задачи о суммировании.
§ 2. Числа и многочлены Бернулли
1. Вычисление чисел Бернулли. Как мы уже знаем, числа Бернулли В/г определяются из разложения
t = S Bn tn gt_i 2j я! '
л=0
справедливого при 11 \ < 2ге. Для нахождения чисел Bk можно вычислить значение функции —t----- и ее последовательных производных для / = 0. Так, например, сразу получаем В0 = 1. Однако этот метод сложен, ибо не существует простого выражения для
л-й производной функции —t-----, и лучше воспользоваться рекур-
С ^~ X
рентными формулами, вывод которых основан на следующем соображении.
По определению чисел Бернулли
_
•e* — 1 ~ j k\ ' k=o
Разлагая ef в ряд, сокращая на / и освобождаясь от знаменателя, получим тождество
k=0
справедливое в круге 11 \ < 2ге.
Переписывая это тождество в виде
0° А °° ВЬЛ
2 (гЬп • 2-и--! (24>
k—O k=0
и производя перемножение степенных 'рядов, найдем, что коэффициентом при tk~1B написанном произведении будет следующая

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика