Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей Изд.2
 
djvu / html
 

240 ПОСТРОЕНИЕ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ С ЗАДАННЫМИЭЛЕМЕНТАМИ [ГЛ. III
§ 3. Частные случаи общей интерполяционной задачи
Обозначения предыдущего параграфа сохраняются при рассмотрении всех приводимых далее частных случаев. Кроме того, условия разложения в интерполяционные ряды, которые будут получены в дальнейшем, во всех рассматриваемых случаях будут не только достаточными, но по теореме V и необходимыми.
1. Заданы числа F(n), n = 0, 1, 2,... Так как
С, (91)
"•"-,) с
то функцией и (С) для данной задачи будет ё^.
Найдем общий вид области однолистности функции е^. Пусть у = ф(я)— однозначная, непрерывная и определенная для всех значений х, А < х < В, кривая, где А и В — любые числа, причем Л ^> — оо, В^ оо.
Рассмотрим область D, границей которой будут кривые у — = ф (я) и у = 2л -f- ф (х). В этой области функция е2 будет однолистна. Поэтому мы получаем теорему: если функция f (С), регулярная в бесконечности, имеет все особенности внутри области D, то функция F (г) однозначно определяется числами F (п), п = = 0, 1,..., причем, если при этом условии F (п) = 0, п = 0, 1, 2,. ... то F(z) = 0.
Если заданы числа F(n), то это значит, что заданы числа
п k—O
Но
А
= A"F (0) = 2^ \ (* ~ 1 )"/ (0 Я. (92)
Полагая С = re1* и и(?) = е^ — 1 и замечая, что ы(0) = 0, и' (0) = 1 , а также, что и (С) однолистна в любой полосе, ограниченной прямыми г cos (а — у) = к sin а и г cos (а — 9) = — к sin а, тс > а ^ 0, мы можем считать доказанной как частный случай теоремы VII теорему: если индикатриса /1(9), А(<рХо, целой функции F(z) удовлетворяет неравенствам h ( — а) < к sin а, h (it — а) < < тс sin а, то эта функция F(z) представляется рядом многочленов
п=0
n\ dtnbie" sina + r
т=0
(93)

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика