Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей Изд.2
 
djvu / html
 

180 РЯД НЬЮТОНА [гл. и
достаточно положить
Тогда, как легко проверить, ряд 2 Ak(z) будет сходящимся,
* = i
00
а ряд 2 И*(2)1 будет расходящимся при любом г. Значит,
ft = i
соответствующий ряд Стирлинга будет при любом z сходиться, но не абсолютно.
Во всех дальнейших теоремах этого параграфа мы будем считать, что ря^д Ньютона дается равенством (115), где ak — = [хй, хг, . . . , Xk\, и что формула Ньютона имеет вид
f(z) = Pn(z) + Rn(z), (121)
где
п
Рп(г)= S К, •..,**] (z-*o)---(z-**-i), (122)
ft =0
и вследствие представления (54) гл. I #n(z) = [z, х0, . . . , хп] (г — х0) . . . (г — хп) =
Ck =0
где С — замкнутый спрямляемый контур, лежащий в области регулярности f (С), причем узлы интерполяции х0, хъ . . . , хп и г будут внутренними точками конечной области, границей которой является контур С. Мы переходим к рассмотрению различных типов расположения узлов интерполяции и установлению достаточных условий представимости в некоторой области функции / (г) рядом (115) или сходимости к / (z) в некоторой области подпоследовательности многочленов Pn(z), имеющих вид (122).
2. Случай конечного числа предельных точек последовательности узлов интерполяции на конечной части плоскости. Займемся теперь случаем, когда последовательность узлов интерполяции {хь} имеет конечное число предельных точек аь а2, . . . , ач. Мы докажем две теоремы, одна из которых относится к сходимости подпоследовательности частных сумм ряда Ньютона, другая — к сходимости самого ряда. Для того чтобы несколько облегчить доказательство этих теорем, мы выделим предварительные рассуждения и условимся о некоторых обозначениях.
Возьмем е0 > 0 настолько малым, чтобы круги
\г — в. |< е, s=l,2 ----- У,' е<е0, (124)

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика