Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей Изд.2
 
djvu / html
 

170 РЯД НЬЮТОНА [ГЛ. II
Теорема IX может быть непосредственно использована для доказательства одного теоретико-числового предложения.
Теорема X1). Если функция f (z) регулярна в полуплоскости Re z > а, удовлетворяет в этой полуплоскости неравенству
_ i__ |/(ос + /ч?«)|< егф">(1+г) 2 *, е > 0, (113)
где tp (/) == cos tin (2 cos /) + / sin /, и целочисленна при z=k, k -f- 1, . . ., k > a, m. e. f(n) — целые числа при всех целых n,n~^k, то она должна быть многочленом.
Доказательство. Рассмотрим функцию u(z) = f(fe+z). Эта функция регулярна в полуплоскости Re z > a — k, в этой полу-ллоскости она удовлетворяет неравенству
-If/ д_ «м ^ (\ j_ \~|"~е е^1""'. е > О,
где у (/) = cos / In (2 cos t) + / sin /.
По теореме IX функция ц (z) может быть разложена в ряд Ньютона (57), абсцисса сходимости которого if не может быть
больше максимального из чисел a — &<0 и —е==~9-----о" — е'
Итак, абсцисса сходимости ряд» Ньютона (57), представляющего нашу функцию и (г), должна быть отрицательна. Значит, ряд Ньютона для функции и (z) должен сходиться при 2 = 0, т. е. ряд а„ — QX + а2 — с3 + • • • должен быть сходящимся. Но мы знаем, что а„ = Дпа(1) = и(п + 1) — пи(п) -f-• ..+u(l), откуда следует, что все а„, л = 0,1,. . ., должны быть целыми числами, так как по условию нашей теоремы числа и (п) = f (k + п), п — 0,1,. . ., —целые рациональные. Поэтому ряд а„— fli+a2— раз он сходится, должен обрываться, т. е. ап = 0 при п^п0 и
П = П0 — 1
т. е, функция f(z + &) — многочлен.
Так как функция 9 (0 = cos * 'п (2 cos О + / sin /" будет четной,

растущей на сегменте у 1> / ^ 0 и принимающей при ^ = 0 свое минимальное значение <р(0) = 1п2, а при / = ±-у — максималь-
ное значение 9 zfc -т — т > то> взяв произвольную функцию / (z), регулярную в правой полуплоскости Rez>0 и удовлетворяющую
Теорема Г. Полна.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика