Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей Изд.2
 
djvu / html
 

JgQ РЯД НЬЮТОНА [ГЛ. II
Последнее неравенство, ограничивающее | dn, (z) |, может теперь быть записано в форме
| с(„, (г) } < С (ос, е) r'«~+6V'1")), h (9) = cos 9 In (2 cos 9) + 9 sin 9,
причем С (a, s) зависит только от е и a при Re z ^> a > 2е > О и е произвольно малом.
Это последнее неравенство и доказывает полностью нашу теорему.
3. Разложение аналитических функций в ряд Ньютона. Ряд Ньютона с коэффициентами, отличными от нуля, в отличие от ряда Тэйлора может представлять в полуплоскости своей сходимости функцию, тождественно равную нулю. Для исследования этого обстоятельства займемся вопросом единственности определения аналитической функции, регулярной в полуплоскости Re z > X, по ее значениям при целых положительных значениях аргумента, т. е. в точках г = О, 1, 2, ...
Мы докажем теорему, дающую в известном смысле необходимые и достаточные условия, при которых аналитическая функция, регулярная в некоторой полуплоскости, может быть единственным образом определена по ее значениям в точках, образующих арифметическую прогрессию. Эта теорема представляет достаточно большой интерес также и с функциональной точки зрения.
Теорема VII. Если функция f(z), регулярная в полуплоскости Rez>0, непрерывная на мнимой оси и удовлетворяющая в этой полуплоскости неравенству .
| /(г) |< Л*1 *!"«», й±у<т<^ 9 = argz, (90)
где h(t) — любая действительная и непрерывная на сегменте — -у- ^.t^-ir функция, обращается в нуль при всех целых и поло-
жительных значениях аргумента, т. е. г=1, 2,..., то она должна быть тождественно равна нулю.
Доказательство. Допустим, что существует функция f(z), удовлетворяющая всем условиям нашей теоремы и не обращающаяся в нуль тождественно. Рассмотрим тогда функцию
f /z\ ?игг
• • Эта функция, рассматриваемая как функция комплекс-
ного переменного г, будет регулярна в полуплоскости Re г > 0 и непрерывна на прямой Rez = 0, так как нули числителя и знаменателя будут совпадать, причем знаменатель имеет однократные нули только в целых рациональных точках. По теореме Коши, считая х действительным числом, имеем
f(z)euzz dz f(x)e"*x
smnz z — x sin
(91)

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика