Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Александров И.И. Сборник геометрических задач на построение с решениями
 
djvu / html
 

АВ: DB — ВР: ВМ. Треугольники DBM и АВР, имея по равному углу, заключенному между пропорциональными сторонами, подобны, и потому АР: DM = АВ: BD = п; откуда АР = DM • п. Умножить треугольник на какое-нибудь число п (оно может быть и дробное), значит, сохраняя углы треугольника, помножить на п одну сторону; так Л DBE есть Д ABC, умноженный на (1:«), и д ABC есть Д DBE, умноженный на п. Поэтому эта теорема может быть выражена так: „если треугольник умножить на число п, то все его линейные элементы умножатся на то же число п".
79. Показать, что медианы AD, BE и CF треугольника ABC встречаются в одной точке G и делятся в ней в отношении 2:1.
Доказ. Пусть G есть пересечение медиан AD и BE, прямая же СО встречает АВ и DE в точках F и Л". Из подобия треугольников ABC и DEC, AFC и ЕКС находим AB = 2DE и AF' = 1ЕК; затем из подобия треугольников BAG и DEG, BFG и EGK выходит AG:GD = 2:1, SG:GE=2:1 и, наконец, B/7:E/f=2:l, откуда RF=4EK. Значит, AF = BF и СО есть медиана.
80. Доказать, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Реш. Через все вершины проведем параллели противоположным сторонам (79, 1).
81. В Д ABC вписан Д DEF (Е — на АВ, F— на АС) гак, что окружность, описанная на диаметре EF, касается ВС в D. На продолжении FD отложено DFt = DF. Показать, ч го FFt J_ BC.
82. В выпуклой фигуре ABCD на сторонах АВ и CD взяты точки Е и F так, что АЕ: ЕВ = DF: FC. Проводят ЕС, \\ ВС и EDt || AD так, что ECt = BC и EDt^AD. Показать, что линия DtFCt есть прямая.
83. В треугольниках АХВ и DBZ углы X=Z=90 , ZB ±.ВХ, АВ и BD — по одну сторону ВХ. Если М и N суть середины АВ и BD, то окружность, описанная на диаметре MN, делит XZ пополам.
84. Стороны квадрата или прямоугольника ABCD проходят соответственно через точки М, N, Р и Q. Перпендикуляр из М на NQ встречает CD в Е. Показать, что ME = NQ для квадрата, и ME = (NQ • AD) :AB для прямоугольника.
85. В д АВХ угол X вдвое более угла АВХ.Если биссектор угла X встречает АВ в Y, то AX* — AY- АВ.
86. Если через данные точки А и В(черт. 9) провести сколько угодно окружностей, встречающих данную окружность О в точках М v N, Р и Q, D и Ей т.д., то все секущие MN, PQ, DE... пересекут АВ в одной и той же точке С.
Доказ. Вообразим через точки А и В окружность, касательную к окружности О Черт. 9. в точке К- Общая к окружностям ОиО,каса-
20

 

1 10 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170


Математика