Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Александров И.И. Сборник геометрических задач на построение с решениями
 
djvu / html
 

можем выполнить одним циркулем. Пусть же точки А, В, С и D найдены одним циркулем.
Тогда инвертируем одним циркулем прямые АВ и CD; они отобразятся в окружностях. Эти окружности пересекутся в Xt. Наконец, инвертируем одним циркулем точку Х{ обратно и получаем точку X. Сказанное уже легко распространить на тот случай, когда задача приводится к построению нескольких точек. Возникающий при этом длинный ряд построений, как показано ниже, на практике можно сильно сократить, применяя принципы инверсии (задача VIII). Мы видели, как тесно связан с принципами инверсии вопрос о решении задач одним циркулем. Сама собой напрашивается мысль, что среди многочисленных и изящных решений Маскерони должны быть такие построения, которые вытекаю г из решения lex же задач методом инверсии. С другой стороны, хотя построения Маскерони в общем не зависят') от указанного общего метода решения задач одним циркулем, но в частных случаях они могут приближаться и даже совпадать с решениями по общему методу. Чрезвычайно интересно указать, что то и другое, действительно, так и есть. Вот примеры.
VII. Данный отрезок АВ разделить на п равных частей (п — целое, черт. 107).
Пусть АХ = (АВ: п). Инвертируем X, взяв окружность (А, В) за основную. Точка .Ynepe-Черт. 110. ходит в точку С. По принципу инверсии
АХ-АС = АВ*, откуда АС=^АВ-п и точку
С можно найти одним циркулем (I). Остается точку С инвертировать обратно (II).
Это решение совпадает с построением Маскерони VIII. Найти центр окружности с помощью одного циркуля. Взяв произвольно точки А и В (черт. НО), чертим окружность (А, В) — получим точку С. Определяем циркулем точки М w N так, чтобы AM = MB^NB = NA, а также точки Р и Q так, чтобы AP = PC = CQ = QA. Инвертируем М, N, Р и Q, взяв окружность (А, В) за основную. Прямые MN и PQ отобразятся в окружностях, пересекающихся в А и X. Точку X инвертируем обратно и получаем искомое.
Попробуем это общее решение упростить. Во-первых, вместо прямой MN выгоднее взять прямую AD, потому что легко определить отражение А в ВС. Во-вторых, легко заметить, что АЁ • АН^ ^АВ*, а потому точки Е и Н суть точки соответственные при степени АВ*. Но так как DA — 2AE и АО = (АН: 2), то точки D и О суть тоже обратные, и вопрос приводится к задаче II. Поэтому приходим к следующему решению. Определив точки А, В, С и D, описываем окружность (D, DA) — получаем точки К и L. Затем чертим окружности (К, АВ) и (L, АВ) до пересечения их в О.
') Во времена Маскерони теории инверсии не было. 140

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 160 170


Математика