Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Александров И.И. Сборник геометрических задач на построение с решениями
 
djvu / html
 

В большинстве случаев указанных теорем достаточно, чтобы с сравнительной легкостью судить, — решается ли данная задача циркулем и линейкой. Именно, в полученном уравнении (третьей или 4-й степени) данные длины и углы заменяют числами с таким расчетом, чтобы получилось уравнение с целыми коэффициентами и чтобы коэффициент при высшей степени неизвестного был равен единице. Если уравнение кубичное, то, путем подстановки, испытывают все целые множители известного члена, взятые с двойным знаком,—не будут ли они корнями данного уравнения. Если этого нет, то задача неразрешима циркулем и линейкой. Если же имеем уравнение 4-й степени, то сначала получают его резольвенту, а потом поступают по предыдущему. При этом необходимо иметь в виду, что, если в частном случае корни уравнения выражаются квадратными радикалами, то это вовсе не значит, что вообще корни уравнения выражаются квадратными радикалами — это только значит, что мы напали на частный случай, в котором задача разрешается циркулем и линейкой. Противоположное заключение вполне справедливо, т. е., если задача в частном случае неразрешима циркулем и линейкой, то она будет таковой и в общем случае. Поэтому очень часто бывает выгодно решать задачу, начиная с ее частного случая. Вот примеры, разъясняющие сущность дела.
76*. Делийская задача. Найти куб, объем которого вдвое больше объема данного куба.
Уравнение вопроса будет х3 = 2а3, или, полагая а = 1, х'Л — 2 = 0. Так как целые множители числа 2, взятые с плюсом и минусом, не суть корни этого уравнения, то оно не может разрешаться в квадратных радикалах, и потому задача неразрешима циркулем и линейкой.
Вот пример употребления тригонометрических функций.
77. Построить треугольник по данным трем биссекторам.
Реш. Начинаем с равнобедренного треугольника. Пусть в биссекторы: АЕ = СК=1 и BD = h, ^_ВАЕ = х. Тогда ^_АЕВ =
— Зл; и /_Л/?С=180°— 4х. Определяя АВ, находим ^—„- =
/ sin Зх , I sin Зх , . л ..
= —:—т— или h = g-----о (сокращение на sin 2x удаляет негодный
корень д:=^900). Полагая l=2h, находим cos2х = sin Зх, откуда лг=18°. Это показывает, что в выбранном частном случае задача решается циркулем и линейкой. Полагаем /=4/z, находим
1 — 2 sin"2х = 2 (Ssinjc — 4sin3*), или
8sin3jc—2 sin2* — 6sinjt-|- 1 =0. Если
sinjc = -—, го г3— г2—12г-|-8 = 0.
Множители числа 8, взятые с двойным знаком, не суть корни этого уравнения. След., это уравнение не разрешается ни в рацио-120

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 140 150 160 170


Математика