Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения
 
djvu / html
 

является асимптотическим представлением интеграла W, т. е.
Этот асимптотический ряд формально идентичен ряду, полученному при исследовании уравнения для получения нормального решения. Таким образом, если этот нормальный ряд не ограничен и не дает нормального решения, то он дает асимптотическое представление решения.
В предыдущем исследовании мы приняли, что z стремится к бесконечности вдоль вещественной оси. Это ограничение было принято только для упрощения, однако нет разницы также в том случае, когда z стремится к бесконечности вдоль любого луча определенного аргумента. Ряд Sm не может быть асимптотическим представлением функции We'~az^''rl для всех значений аргумента, так как, если бы
zm {We~*'~ zx+1 - Sm}
стремилось равномерно к нулю для достаточно больших значений |z|, то We~"zz*"fi было бы аналитическим, а представление в виде ряда сходилось бы, что, по крайней мере в общем случае, неверно. В действительности, когда argz увеличивается, то решение, которое Sm асимптотически представляет, внезапно меняется. Таким образом, если решение разложено асимптотически, то существенно определить пределы argz, между кото* рыми представление имеет смысл *.
18-3. Уравнения ранга выше первого; косвенная трактовка. Выше мы получили точное решение уравнений первого ранга при помощи интеграла Лапласа. Ограничение, чтобы ранг не превышал единицы, является существенным; если уравнение выше первого ранга, то метод совершенно неприменим. Покажем, что уравнение порядка s больше единицы может быть заменено уравнением первого порядка и ранга, которое, в свою очередь, может быть решено при помощи интеграла Лапласа 2. Непосредственный метод получения решения будет дан в одном из следующих параграфов3.
Пусть уравнение имеет вид
d"w . dn~lw . dw
где коэфициенты — полиномы от z, и пусть Рг будет степени КТ- Тогда, если уравнение имеет нормальные решения порядка
1 См. пример § 18-61 и сравни с §§ 19-5, 19-6.
* Пуанкаре [Acta Math., 8 (1886), 328] впервые описал метод и подробно рассмотрел случай уравнения второго порядка. Горн [Acta Math., 23 (1900), 171] продолжил анализ в случае уравнения второго порядка и ранга р.
3 18-31, см. также §§ 19-41, 19-42.
600

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710


Математика