Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения
 
djvu / html
 

Коэфициент 2— * в z p у *1^(г9) равен /,(р), а коэфициент 2""1 в zL1(z~f~"~ i) равен »„ (— р — v — 1), откуда
и аналогично
?v(p)=/,(-P-v-l).
Отсюда непосредственно следует, что степени двух определяющих уравнений —/0(р) = О, относящегося к Ьг(и) = 0, и ?о(р)=0, относящегося к L± (v) = 0, равны. Пусть этой степенью будет n — r,i огда класс г будет одинаковым для обоих уравнений. В частности, если одно из уравнений ^(и)= 0 и Lj(v)= = 0 имеет все решения, регулярные в особой точке, или вовсе не имеет их, то то же верно и для другого уравнения.
Предположим, что [^(и)— О имеет п — г решений, регулярных в начале. Тогда
где Мг(и) = 0 — уравнение, удовлетворяемое п — /регулярными решениями, a Rt — оператор порядка г. Но если R^ и- ~Мг — сопряженные операторы R{ и Мг соответственно, то
Определяющие уравнения, относящиеся к началу, как Llt так и Жь— степени п — r, следовательно уравнение /^ (и) = 0 не имеет определяющего уравнения; поэтому, если уравнение L (г») = О имеет п — г регулярных решений, то необходимо, чтобы сопряженное уравнение L (и) = 0 было удовлетворено всеми решениями уравнения 7?(и)=0 порядка г, которое не имеет определяющего уравнения.
Это условие является также достаточным, так как^если оно удовлетворено, то уравнение /^1(«) = 0, сопряженное /^ (v) — Q, также не имеет определяющего уравнения. Следовательно порядок уравнения Мг (и) = 0 равен степени определяющего урав-нения, относящегося к рассматриваемой особенности, а все решения Мг(и) = 0 регулярны в начале; уравнение 1^(и)= 0 имеет п — г решений, регулярных в начале.
Таким образом для того, чтобы уравнение порядка п имело п — г решений, регулярных в ос бой точке, в которой определяющее уравнение степени п — r, необходимо и. достаточно, чтобы сопряженное уравнение удовлетворялось всеми, решениями уравнения порядка г, которое не имеет определяющего уравнения в рассматриваемой особой точке.
Если регулярные решения существуют, то точные выражения для них могут быть найдены решением последовательности рекуррентных соотношений, данных в § 17-3. Любые случаи, когда корни определяющего уравнения кратные или различа-
570

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710


Математика