Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения
 
djvu / html
 

где а, Р, 7 и s — постоянные. Зависимости F1(l+t) = а/ч (1 -
также должны удовлетворяться тождественно, так как в противном случае F\(l + t) и /^(l + O находились бы в линейной зависимости. Отсюда
к2 + Pi = PY + й2 = 1. Р (а + ») = Т (а + 2) = О, причем возможны только два условия
(I) « = 3=± 1, 8=0, 7 = 0, или
(II) а = - о, Р? = 1 - «*•
Рассмотрим первое условие я = В = -j- 1, Р = Y = 0. Здесь /4(1 -0 - /ч(1 + 0, ^(1 -t) = F*(l+ t);
это соотношение справедливо в общей области сходимости рядов, следовательно оно справедливо и вблизи начала. Но начало является обыкновенной точкой уравнения, так что не может существовать двух независимых четных решений, имеющих смысл вблизи t = 0. Таким образом это первое условие должно быть отклонено. Условия а = 8 = — 1, ,8 = ^ = 0 подразумевают существование двух независимых нечетных решений, действительных в начале; оно также должно быть отклонено. Следовательно остаются только условия а = — 8, {3-у — 1 — а2. которые однако допускают частные случаи. Рассмотрим наиболее важные из них.
(а) Пусть а = — о = + 1, ,8 = 0, так что
при 1 1 + t\ < 2. Это решение будет четным при а = -f 1 и нечетным при а= — 1; оно не имеет особенности в конечной части плоскости. При подстановке ? = cosz, получим решение для а= = + 1 в виде ряда четных косинусов кратных г, а для а= — 1 — в виде ряда нечетных косинусов также кратных z. (b) Пусть а == — 3= + 1, 7 = 0, тогда
ря(1 -О = ±^2(И- 1)
при |1 4 t\<_2. Решением будет произведение \^1 — t2 на целую функцию t, которая меняет свой знак, когда t описывает малый контур вокруг ^= + 1 или вокруг t = — 1. Эта целая функция четная, если 3 = + 1, и нечетная, если о = — 1. При подстановке t = cos z, если 3 — -j- 1, решение получается в виде ряда четных
520

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710


Математика