Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения
 
djvu / html
 

и поскольку для последовательности точек z2, имеющих предельную точку a, \w(z2)\ и \W(Zz)., неограничены, |V(z2)1 произвольно мал. Из предыдущего параграфа следует, что w(z) имеет полюс в точке z = a.
Случай, когда w(z) стремится к единственному пределу g, в то время, как z приближается к а вдоль радиуса, может быть сразу устранен, так как предыдущее исследование не изменяется, за исключением несущественного элемента в выражении для V, где член w' w замещается w'/.w — g). В частности, доказательство справедливо, если вместо того, чтобы иметь положительную нижнюю границу, \w(z) был бы равен нулю при z =--= а.
Выбор радиуса z0a в качестве линии приближения к а не существен для доказательства; любая кривая конечной длины, заканчивающаяся в а, ни одна точка которой (исключая aj не является существенной особенностью w(z), была бы пригодна.
14 • 422. Случай, когда нижняя граница \iv(z)\ равна нулю. Выше мы уже рассмотрели все возможные случаи, за исключением одного, именно: на радиусе z0a существует последовательность точек %, имеющих предельную точку а, так что ^(zj.)) < p, и другая последовательность точек za, также имеющих предельную точку ц, при которой* \w(zz)\ > р. Покажем, что даже в этом случае а является полюсом w(z).
Пусть Х1( >.2, ... будет последовательностью неперекрывающихся сегментов радиуса z0a, в конечных точках которых |!1ш(;г)|=р и внутри которых \w(z)\ < р; пусть /j, /2,... будут длинами этих сегментов. Существование последовательных точек z2 означает, что число интервалов X бесконечно. Покажем, что каждый сегмент }.v может быть замещен изогнутым сегментом Av длины /., , где 1 Если z рассматривать как зависимую, a w как независимую переменную, то уравнение (I) принимает вид
ПМ "* =_H^3(6^ + z).
AW- ( dz ) ^ '
Пусть Z', будет конечной точкой X., и пусть W-, будет соответствующим значением w(Z), так что \w^ \ = р. Пусть z(w) будет решением (Ib), так что
Если Z, = 0, то решением будет лишь z = Zv ; оно не содержит w и поэтому не соответствует никакому решению w(z) уравнения (I). Следовательно можно предположить, что z'(W^ )-' 0.
: Io если ? — положительное число < -^ , то может быть найдено такое число т, при котором, если
:«•• -: Р, |Z.;| < г,
470

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710


Математика