Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения
 
djvu / html
 

в плоскости z. Здесь и далее мы будем рассматривать z0 как начальное значение г, отличное от одного , из перечисленных особых значений, a w0 будет соответствующим начальным значением w, нам нужно рассмотреть четыре независимых случая
(I) D(z0. ®0)ФО, Л0(20> ВД0)ФО, (II) D(z0, И0)ф0, A0(z0, Wo) = G, (III; D(z0, W = 0, A0(z0, ®0)ФО, (IV) D (20) w0) = 0, A0 (z0, w0) = 0.
13-2. Случай (I). Если D(z, w) и AD(z, w) не равны нулю для z = z0, w = w0, то из теории алгебраических функций следует, что уравнение (A) F(z,w,p) = Q
в соседстве с интервалом (z0, w0) определяет т независимых конечных значений р. Придадим w фиксированное значение w0, тогда уравнение
F(z, -w0> /0 = 0
будет иметь р независимых корней, аналитических в соседстве с 2ft. Пусть этими корнями будут
тогда в соседстве с интервалом (z0, w0) окажутся /и выражений вида
Поскольку (о,- и коэфициенты С,- аналитические в соседстве с z0, эти выражения могут быть написаны в виде
В) P = $} + Pi(z — z0.w — w0) (i =1,2,..., т\
где ы>(^ — значение и,- при г = г0, ар,- обозначает двойной ряд, который сходится для достаточно малых значений |z — г„| и j и1 — w0 1 и обращается в нуль при z = z0,w = iv0. Следователь но первоначальное уравнение (А) заменяется последовательностью т независимых уравнений (В); каждое из этих уравнений имеет только одно аналитическое решение, которое приводится к й>0 при г = 20. Следовательно уравнение (А) имеет т независимых аналитических решений, удовлетворяющих начальным условиям. Других решений оно не имеет.
13-3. Случай (II). Если A0(z0, w0) = G, но D(z0, w0) ф 0, то уравнение (А) определяет т значений р, одно из которых становится бесконечным при (г0, w0). He может быть двух значений р, обращающихся одновременно в бесконечность, так как это привело бы к Al (z0, w0) = 0 и D (z0, w0) = 0. Следовательно для р имеются т — 1 независимых выражений, аналитических в соседстве с (г0, w0), а они приводят к последовательности т — 1 решений уравнения, удовлетворяющих начальным условиям.
410

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710


Математика