Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения
 
djvu / html
 

_ равны нулю при z = z0, w = да0, в то время как —не равно
нулю, то уравнение допускает единственное решение, разложение которого имеет вид
z — z0 = (w — w0f 1{с0 + Сг (w — w0) + с» (w — да0)2 +...},
где С0ФО. Отсюда следует, что функция iso — ъ, может быть представлена в виде
W
/
г\
--
— W0 = Рг\ (Z — 20)ft+1 j '
где PI — степенной ряд, главный член которого первой степени относительно аргумента. Следовательно имеются k + 1 решений, удовлетворяющих начальным условиям, a z0 — точка разветвления. вокруг которой эти решения переставляются.
В частности, пусть диференциальное уравнение имеет вид
dw _ g (г, w) dz h (z, w) *
где g(z, w) и h (z, w) — полиномы от w, коэфициенты которых— аналитические функции z. Пусть степень h (z, w) равна п, a z0 таково, что уравнения g(z0, w) = 0 и h(z0, ге^—Оне имеют общего корня, тогда г0 соответствует п значений иг0, так что каждой из этих начальных пар значений (z0, w0) соответствует последовательность решений с точкой разветвления в z0. Если мы предположим, что точка z0 описывает кривую в плоскости z, так что ни для одной точки г„ на этой кривой уравнения g(z0, w) = 0, h(z0, w) = 0 не имеют общего корня, то каждая точка на такой кривой является точкой разветвления для последовательности решений. Точки разветвления могут рассматриваться как перемещающиеся особенности. С другой стороны, любые другие особенности и в частности любые существенные особенности возникают вследствие того, что коэфициенты полиномов g(z, w) и h(z, w) перестают быть аналитическими. Поскольку это происходит совершенно независимо от w, такие особенности являются фиксированными1 относительно их положения в плоскости z.
12-41. Значения г, для которых функция F(z; z0i w0) становится бесконечной. Пусть zt будет значением z, для которого решение
бесконечно. Рассмотрим, каким образом функция F(z', zc, w0) становится бесконечной, причем мы сделаем несколько предположений в отношении поведения функции f(z, w} при z = zlt
•W = со. 390

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710


Математика