Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения
 
djvu / html
 

10-7. Свойство ортогональности фундаментальных функций и ее следствия. Рассмотрим диференциальную систему
/ л \ | *- V."-/ ' "&"• - f« , п ' jrl ^п—1 ' '" ' fn-i йл: ' VF/i I "ё)и — 0>
?У,-(и)=0 (i=l,2,..., п),
где коэфициенты диференциального уравнения р0, /?,,..., ря_.ь рп, g и коэфициенты, входящие в выражения ?/,-(«), не зависят от параметра X. Сопряженная система будет иметь вид
I «,) + ^ Е <- 1)" + (-!)
"-
+...--. .
! Vi(v) = Q (i-1, 2,..., я).
Предположим, что система (А) допускает не меньше двух характеристических чисел, например >,{ и X,- и чта соответствующими характеристическими функциями являются н,- и и,. Тогда система (В) совместима для ).г и X,; пусть характеристи-
ческими ФУНКЦИЯМИ будут Vi И Vj.
Формула Грина
f{v L (и) —uL(v)} = ?7^2» + UzV«n-i + . . . + U»nVl
а
(§ 9-31) верна независимо от значений и и -о. Пусть и = гг/ и •у = г»/; тогда правый член обратится в нуль, поскольку
?Л(иО - ?/а (и,) =...=?/„ («О = О, Vi (^/) = ^ («,-) = . . . = К„ (%) = 0.
Следовательно
ь _
/ {%? (и,-) — UiL^,)} dx = 0,
и
откуда
И
fa — Idf gu-iVjdx = 0;
а ПОСКОЛЬКУ /.j И >>; раЗЛИЧНЫ
&
jdx = 0.
В частности, если система (А) самосопряженная, то
ь
320

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710


Математика