Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения
 
djvu / html
 

7 • 232. Случай, когда разность показателей является целым числом. Оба решения, соответствующие особенности х — 0, именно
yi = Р(л, Р; г, х). у, --= х*-тр(1 - т + 1; р - 1 + I; % - г, х),
независимы, если разность показателей 1—*; неравна нулю или отрицательному целому числу. При ^ = 1 оба решения тождественны, при 7 = 2, 3, 4,..., решение у2 становится неверным, вследствие обращения в нуль знаменателя в коэфициентах бесконечного числа членов ряда. Тем не менее, 'решение _v2 имеет смысл при ~[ — т (т — положительное целое число), если умножить его на соответствующий постоянный множитель. Рассмотрим решение
Это решение остается конечным при Y. равной т, первые т — 1 членов разложения ряда обращаются в нуль и остается решение
1 ~L- 'J У -4- —ч • ^ "J ' ' v-_L_ — Fiy 3* w Y\ ' \\mX^ 2!/«(m+l) '-------- ( " ' ''
Таким образом, если ",' — положительное целое число или нуль, то оба решения уц и у2 будут практически одинаковы. Общий методг получения другого решения, существенно отличный от приведенного выше, будет рассмотрен в главе XVI. Приведем простой пример, иллюстрирующий общий случай. Рассмотрим уравнение
d'-y j_ f____1_ , I | „
dx2 'I 4 ' 4дгг|-
x = 0 является регулярной особой точкой, которой соответствует определяющее уравнение
корни которого равны. Одно решение получается непосредственно, именно
V .' г- г* ^
— 1 1 I I I ! *
yi=x (I + 4ir +4гтЖ+ •••-'' второе решение получается подстановкой
где г» — новая зависимая переменная. Уравнение для v, именно
+ 2y'lV = 0,
1 Lindeloi, Acta Soc. Sc. Fenn., 19 (1893), 15. 220

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710


Математика