Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения
 
djvu / html
 

Рассмотрим, например, интеграл
с* + 2су + а' — хг = О,
где с — произвольная, а а — определенная постоянная. Производное уравнение имеет вид
с dy — xdx = 0; после исключения с оно становится диференциальным уравнением
JL_
[—у +(х2 + у"' — a?)T]dy — xdx = 0.
Уравнение в полных диференциалах, полученное одновременным изменением х, у, и с, будет
(с -\т у) dc + cdy — xdx = О, или, исключая с
(х* + у> — a2) *~dc + [ — y +(х2 + yz — а2) т] dy — xdx = 0.
Таким образом, кроме общего, существует еще и особое решение
xz + у2 = а8,
которое, очевидно, удовлетворяет диференциальному уравнению.
Диференциальное уравнение первого порядка может рассматриваться как удаленное только на одну ступень от его интеграла. Уравнение высшего порядка более удалено от своего интеграла и поэтому его интегрирозание является процессом, в котором порядок производных последовательно понижается, причем каждое понижение порядка на единицу сопровождается введением произвольной постоянной. Если данное уравнение порядка п, а при помощи процесса интегрирования получается уравнение порядка п — 1, содержащее произвольную постоянную, то оно называется первым интегралом данного уравнения.
Пусть дано уравнение вида
У"=/<У),
где /(>») не зависит от х. Уравнение может быть проинтегрировано, если оба члена умножить на 2у'. Следовательно
2УУ = 2/(у)У к его первый интеграл равен
где с — произвольная постоянная интегрирования.
1 • 4. Геометрическое значение решений обыкновенного диферен-циального уравнения первого порядка. Поскольку интеграл обыкновенного диференциального уравнения первого порядка является зависимостью между двумя переменными х и у и параметром с, говорят, что диференциальное уравнение представляет собой семейство плоских кривых, зависящее от одного параметра.
20

 

1 10 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710


Математика