Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения
 
djvu / html
 

6-12. Кратные множители. Пусть оператор
Л00« + А^СГ 1+... + Л„_! D + Ап ' будет иметь кратный множитель, например
(D~a)p. тогда общее решение
будет включено в общее решение (А). Одно решение, соответствующее этому множителю, известно, именно
где С — постоянная. Чтобы найти общее решение, применяют метод вариации параметров. Напишем
где V — искомая функция, тогда
(D - а)р еа* V = (D- а)р~* еал DV = (D - af-~ eax D*V = ...= eaxD"V, Следовательно у — е"х V будет решением
(D-a)py = 0, если V — решение
Dp V = О,
отсюда V — произвольный полином от х степени р — 1. Таким образом искомое решение будет иметь вид
"x
у --= (С, -!- С.2х + . . . + Cp>f-1) e
и содержит р произвольных постоянных.
Наконец, при двух сопряженных мнимых числах в множителе, повторяемом р раз, например
(D - а + %f (D - а - /?/', соответствующее решение будет иметь вид
у=-(С1 + С»х + ... + Cpx"~L)e"x cos $x -f
+ (С[ + Сгх+... +Ср х"-1) е"х sin px), при соответствующем числе 2р произвольных постоянных.
180

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710


Математика