Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения
 
djvu / html
 

ДОПУСТИМ, ЧТО КОЭфиЦИенТЫ pij И rir ПОМИМО ТОГО, ЧТО ОНИ
являются непрерывными функциями л в интервале (а, Ь), представляют собой еще и аналитические 1У функции параметра X. в области Л. Модули (р,,) следовательно ограничены.
Пусть К (число, не зависящее от X) будет их верхней границей.
Тогда интегралы, например
у* (х, X) = у» + {Pa Ю УГ1 V, V + • • • + PimW JT1 (*, *) + '.- 0
.*.
непрерывны относительно х и аналитические относительно X. Аналогично
у»(х, >.) - j>r ' (х, л) | < ^W/L1 1 Л _ Ло |»_ Таким образом сравнение ряда
со степенным рядом
показывает, что функции у? (х, X) стремятся соответственно к пределам у^х, X) равномерно относительно (х, X) при а^.х^Ь и X в области А. Следовательно решения yt (л, X) непрерывны относительно х и являются аналитическими относительно /-. В частности, если коэфициенты являются целыми функциями (или полиномами) от X, то решения yt (x,l) будут также целыми функциями X и могут быть написаны в виде ряда
уК-кД) = Kio + "ii'- -f- • . + uir'i.r -г . . . (/=1, 2...,/nj,
который равномерно сходится для всех значений X при a Если начальные условия не содержат параметра л, одно к,-0 должно удовлетворять соответствующим начальным условиям, в то время как w;/-(y>0) приводится к нулю для начального значения х.
Часто для получения решения уравнения или последовательности уравнений, содержащих параметр X в виде ряда, удобно принять решение в этой форме, а затем продолжать методом неопределенных коэфициентов2.
1 Неудобно ограничивать разбор действительными значениями X, так как приходится часто рассматривать мнимые или комплексные значения. Пусть X будет комплексным числом, ограниченным в области А диаграммы Арганла (или в плоскости А), с коэфициентамн аналитическими относительно X, т. е. X однозначна, непрерывна и имеет единственную производную (независящую or направления криближения) в каждой точке области А.
'2 См. Poincare, Les Mcthodes nouvelles de la Mecanique celeste I и II.
100

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710


Математика