Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения
 
djvu / html
 

нию, его решением1. Решение, включающее некоторое число существенно различных произвольных постоянных, равное порядку уравнения, называется общим решением2. Эта терминология оправдана, как будет показано в главе III, где приводится доказательство, что для заданного значения л;, п различным условиям удовлетворяет одно и только одно решение уравнения и-го порядка. Возможность удовлетворения этим п условиям зависит от наличия решения, содержащего п произвольных постоянных.
Было принято, что интеграл содержит п постоянных сг, са, • •-,?„• Однако, если имеются только п кажущихся постоянных, т. е., если две или больше постоянных могут быть заменены одной постоянной без существенного изменения интеграла, то порядок результирующего диференциального уравнения будет меньше п. Например, предположим, что интеграл имеет вид
/{х,у,® («,&)}= О,
тогда он, повидимому, зависит от двух постоянных а и Ь, но в действительности он зависит только от одной постоянной, именно с = С другой стороны, если интеграл приведен, т. е., если функция /(х,у,сг,. .,, сп) разложена на два множителя, каждый из которых содержит у, то порядок результирующего диференциального уравнения будет меньше п, так как если ни один множитель не содержит всех постоянных, то каждый из них приведет к образованию диференциального уравнения порядка менее п, и возможно, что эти два диференциальных уравнения будут тождественны или что одно из них допускает все решения другого и следовательно удовлетворяется самим интегралом.
Пусть интеграл имеет вид
он может быть приведен и эквивалентен двум уравнениям у — ах = 0, у — Ьх =0,
каждое из которых, следовательно и интеграл, удовлетворяет диференциальному уравнению
у — ху' = 0.
1 Вначале применялись термины интеграл [Джемс Бернулли (James Bernoulli^ 1689)] н частный интеграл [Эйлер (Euler, Inst. Calc. Int., 1768)]. Термин решение был введен Лагранжем (Lagrange 1774) и установлен главным образом благодаря Пуанкаре (Poincard). Термин частный интеграл применяется в настоящее время в очень ограниченном смысле (см. гл. VI).
2 Известное прежде как полный интеграл или полное интегральное уравнение (Эйлер). Термин интегральное уравнение имеет в настоящее время •совсем иной смысл (см. § 3-2), которого и следует придерживаться.
10

 

1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710


Математика