Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Фиников С.П. Теория конгруэнции
 
djvu / html
 

510 ПРИЛОЖЕНИЕ
к построению последовательности комплексов, присоединённых к данной точке поверхности и к целому ряду геометрических исследований, среди которых можно прежде всего отметить замечательный результат Цнцейки [1], именно на этом пути получившего конгруэнции /?.
Если исключить это направление, исключительно изящное, но стоящее особняком, то только немногие сочинения делают попытки построить теорию конгруэнции в координатах прямых. Здесь следует назвать работы Вельша [I], [2], [3] — очень интересные, но не имевшие последователей, попытку дать геометрию пространства прямых Циндлера, не вполне удачно построенные основные дифференциальные формы Фубини в конце второго тома проек-тивно-дифференциальной геометрии Фубини-Чех [1] и любопытное построение Хаака [1].
Вся остальная теория развивалась в координатах точки, конгруэнция рассматривалась совместно с её фокальными поверхностями, как образ в пространстве точек. Впрочем, основные свойства конгруэнции были найдены значительно ранее Плюккера; теория конгруэнции появилась на свет почти одновременно с теорией поверхностей.
Двупараметрическую систему прямых в пространстве Е-А и притом самого общего вида впервые рассматривал Мошк [1] !). Он ставит задачу определения наивыгоднейших траекторий для переноса земли из выемкн на насыпь. При этом каждый элемент объёма земли описывает прямою линию. Так как элементы объёма, расположенные иа одной прямолинейной траектории, очевидно, будут двигаться по этой траектории, то совокупность прямых образует конгруэнцию. Таким образом, Монж приходит к задаче исследования конгруэнции самого общего вида. Он устанавливает, что два бесконечно близких луча конгруэнции вообще не пересекаются. Требование пересечения их приводит к двум направлениям, которые соответствуют двум развёртывающимся поверхностям, проходящим через луч. Далее он рассматривает тот случай, когда эти развёртывающиеся поверхности ортогональны друг к другу, и показывает, что в таком случае существуют поверхности, ортогональные ко всем лучам конгруэнции, т. е. конгруэнция образована нормалями некоторой поверхности. Развёртывающиеся поверхности высекают на ней ортогональную сеть линий — линий кривизны; вдоль каждой такой линии нормали к поверхности образуют, очевидно, развёртывающуюся поверхность, а отрезок луча между ортогональной поверхностью и ребром возврата равен радиусу кривизны плоского сечення поверхности плоскостью, касательной к развёртывающейся поверхности.
281. Первая теория конгруэнции. К этим вопросам вернулся ученик Монжа Малюс [1] уже с точки зрения оптики. Он опять разделяет два семейства развёртывающихся поверхностей и показывает, что ортогональность их характеризует нормальность конгруэнции. Затем он ставит проблему отражения и преломления нормальной конгруэнции. Теорема о сохранении нормальной конгруэнции, носящая его имя, доказывается нм в случае отражения лучей, исходящих из одной точки, и в случае однократного преломления.
После Мошка следующий шаг в развитии общей теории конгруэнции сделал Гамильтон [1]. Как и Малюс, он подошёл к ней с точки зрения оптики, но, отметив, что после прохождения через кристаллы пучок лучей перестаёт быть нормальной конгруэнцией, он в конце своей работы останавливается на общей теории конгруэнции. Полученная им формула, носящая теперь его имя,
г s= /I cos8» + r2 sin2 и,
где г — абсцисса основания общего перпендикуляра двух конечных близких лучей, (о — угол этого перпендикуляра с перпендикуляром в граничной точке
J) См. вводную статью Выгодского к переводу «Приложений анализа к геометрии», ОНТИ, 1936.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520


Математика