Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии
 
djvu / html
 

410 МЕТОД подвижного РЕПЕРА [гл. xiv
(Oj, <0g, . . ., Шр будут тоже дифференциальными инвариантами. Так как число независимых дифференциальных инвариантов ограничено (не больше размерности многообразия V),то они все исчерпаются, и'новые инварианты будут функциями от предыдущих.
Многообразия с неопределённым каноническим
репером.
Следующая теорема покажет, что в последнем случае многообразие не допускает единого канонического репера, ибо существует группа преобразований, которая переводит каждый репер порядка q в любой другой репер того же порядка, сохраняя неизменным многообразие.
Теорема. Если последовательной специализацией получены реперы порядка q, причём
a) реперы порядка q -\-1 совпадают с реперами порядка q,
b) дифференциальные инварианты порядка q~\-l—функции от предыдущих, то для каждой пары точек А к А' с одинаковыми значениями инвариантов порядка k ^ q и реперами (R) и (/?') порядка q преобразование (R) -> (R') оставляет многообразие V инвариантным. Многообразие допускает группу преобразований g, порядок которой больше числа вторичных параметров порядка q на разность между размерностью многообразия р и числом независимых дифференциальных инвариантов.
Если система
(a) (оЛ = й„Л., ;'=1, 2, . . .,р; п = р-\-1, .. ., лд,
содержит все линейные соотношения между компонентами инфини-тезимальных преобразований реперов порядка q, то подгруппа g9, переводящая при неподвижном начале А один репер порядка q в другой, зависит от г — лд параметров. Если реперы (q-\-l)-ro порядка совпадают с реперами порядка q, то все коэффициенты ah, не зависят от вторичных параметров и являются дифференциальными инвариантами.
Обозначим через о^ (и, du), MJ (v, dv) компоненты инфинитези-мальных преобразований реперов (R) и (#) нашей теоремы. Среди уравнений системы
(b) со, (и, da) = (•>,(•», <*»)» /=1,2,..., г,
найдется nq—р уравнений, которые будут следствиями других уравнений этой системы в силу линейных зависимостей (а), ибо по условию теоремы все дифференциальные инварианты, в том числе все коэффициенты ahj, имеют в точках А, А' одни и те же значений Дифференцируя внешним образом уравнения (Ь), а также уравнения (а), следствиями которых они отчасти являются, мы придём к системе ковариантов, которая будет тождеств?нно удовлетворена в силу

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 430


Математика