Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии
 
djvu / html
 

390 ОСОБЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. XIII
Допустим теперь, что среди независимых переменных имеется пара переменных ха, ул с одним и тем же указателем а, например, *i и Уг Уравнение (29) для этих двух независимых переменных примет вид суммы якобианов (стр. 105):
( -д-(хьУ1) | д(х*Уд _, , д(х„„Ут) __
1 0 ы, уд ~*~ д (хь уд ^ ' ' • Т д(хьу1) — и>
из которых первый равен единице. Так как по крайней мере один ещё якобиан, например второй, не равен нулю, то х% и _у2 являются
функциями от jCj, уц и, в частности, из двух производных -^2, •—•
по крайней мере одна, например -~ , не равна нулю. Мы можем,
следовательно, выразить yl как функцию от х2 и других переменных и вместо yl ввести в качестве независимой переменной хг. Повторяя это преобразование независимых переменных, мы достигнем того, что для каждого указателя а. будет не больше одной независимой переменной хл или уа. Значит, число независимых переменных не превышает т.
, Допустим, что независимыми являются переменные xit х2, ...,xh, i, •••> У т- Полагая
/Уь *'• J — 1 . 2, . . . , Л,
dyi = ifaxj + l}dy^ Л, ц = A -f-1 , . . . , да,
и внося эти значения в уравнение (29), мы найдём для каждого линейного элемента цепи, построенной по формам базиса dx^ dx%, . . ., dxb, dyh+1, .. ., dym, единственное условие на коэффициенты
'!•=/!, в, р = 1, 2, ...,/я.
В перв,ом линейном элементе et все коэффициенты /J — параметрические; значит, произвол его равен ri = m параметрам; во втором параметрическими будут все /^, кроме 1\ = 1\, т. е. га = /га — : 1 , и т. д. Для элемента et параметрическими будут 4 для k = i, /-}-!,..., т, значит /-f = m — t-j-1. Отсюда характеры системы следующие:
sl = s2=...=Sm=l.
Следовательно, интегральное многообразие 2Кт существует с произволом одной функции от т переменных. Это решение нетрудно указать. Если
w = jt * . . . *
есть произвольная функция своих аргументов, то
..„„•v dw dw dw
(30) гв„-.Л^_, Л = ^., *х=— з^
/ = 1, 2, . . ., h; A = A-j- 1, . . ., m,

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 410 420 430


Математика