Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии
 
djvu / html
 

380 ОСОБЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. XIII
Если определитель системы отличен от нуля:
то Sj = 6. Система — в инволюции, ибо при произвольном задании первого линейного элемента (форм ul, ulk) система (14') определит все формы о>з, ш*, т. е. второй линейный элемент. Интегральное
многообразие 2R2 зависит от шести произвольных функций одного аргумента.
Чтобы выяснить геометрический смысл полученного решения, выберем произвольную ещё точку Л3 в касательной плоскости поверхности (AJ так, чтобы касательные АгА^ и А^А^ были сопряжены и точка А3 была вторым фокусом луча А^А,,. Выберем точку А4 в плоскости A1A2At так, чтобы плоскость A1AsAi касалась поверхности (А3). Тогда (dA3, A^gA^) = О , и, следовательно, ш^ = 0. С другой стороны, при а>з = 0 не только точка А1 описывает линию, касающуюся ребра AtAz но и точка А8 должна перемещаться в направлении A8Aj, следовательно, ^=^0. Значит, формы | пропорциональны и [а^ш*] = 0; точно так же в силу сопряжённости касательных А^А2 и А^А3 при atf — Q не только точка А1 описывает линию, касающуюся ребра АгА$, но и точка А2 описывает линию, касающуюся ребра А^Аг, следовательно, из <о^ — 0 следует а>^ = 0, и значит [a»2<»j] = 0.
Развёртывая по лемме Картана квадратичные уравнения (14), получим :
в1
Дифференцируя внешним образом первые четыре уравнения, получим после элементарных преобразований:
[ш„ dx -f 2дг (т{ — а>|)] = 0, [ш2, dy+2y (a| — «*)] = О, l«,,4P + P («I — «t)J =0, [«j, dp+p (а>} — m«)] =0. Два последних уравнения имеют следствием dp-\-p(a>\ — o)|) = 0.
Внешнее дифференцирование этого уравнения и уравнения даёт, если воспользоваться уравнениями (15),
.
= О,

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 400 410 420 430


Математика