Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии
 
djvu / html
 

370 ОСОБЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. ХШ
нитная и может быть разложена на сумму двух квадратов:
Задача формулируется таю
Jtana квадратичная форма .Ф. Найти поверхность, для которой она служит второй квадратичной формой Гаусса.
Присоединим к каждой точке М(и, v) поверхности прямой (но не прямоугольный) трёхгранник с вершиной в точке М, двумя касательными векторами elf e2 и третьим вектором es, нормальным к поверхности. Вектор е3 выбираем единичным; длину и направление касательных к поверхности векторов е^ е2 выбираем так, чтобы координаты бесконечно близкой точки M'(u-\-du, v-^dv) относительно выбранного трёхгранника в точке М были в1( 62, 0. Если движения трёхгранника определяются формулами
dM == a)*ef, de< = o) то по условию
(2а) «о8 = 0, ш1 = 6t, о)2 = 8а.
Из формы самого трёхгранника следует:
Дифференцируя эти уравнения, получим (Ь) о>| = 0, ?а)з + ^*з + в)1 = 0,
где (ej)8 = Е, et • е2 ~ F, (е21а = О — три функции от и, v. Так как мы рассматриваем наиболее общий трёхгранник пространства, удовлетворяющий условиям (а) с произвольно выбранными значениями Е, F, G, то компоненты его движений тождественно удовлетворяют системе (Ь).
Поскольку Ф есть вторая квадратичная форма поверхности: Ф = е8 • d*M, то имеем :
(2Ь) вХ + вХ = ft)8 + («»)"•
Надо найти по заданным формам 8j, 62 интегральное многообразие 2К2 системы (2а,Ь), на котором [б^] =h 0.
Дифференцируя внешним образом первое уравнение (2а), получим:
Разрешая по лемме Картана и внося полученные выражения «?, Ш2 в (2Ь), получим после сравнения коэффициентов при в,-:
(2с) «1=8^ юЗ — в,.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 390 400 410 420 430


Математика