Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии
 
djvu / html
 

$40 бСОБЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ [ГЛ. XII
бегает ряд значений k = 1, 2,.. ., s), определяет сумму первых р — 1 характеров:
*i-Ha+---+5*-i = 'P-
Изменение числа интегральных элементов &р, которые проходят череде данный элемент 8р-ь происходит в силу различных причин и приводит к особым элементам разной природы.
Случай системы не в инволюции. Прежде всего возможно, что ранг матрицы (4) для наиболее общего высечения и^\ т. е. при вполне произвольных п(р — 1) числах иу1, равен Р и для выбранного интегрального элемента 8p_i не понижается, но ранг матрицы (4), расширенной дополнением столбца а'Д/^о^ больше чем Р. Тогда при произвольном выборе чисел г>(^, т. е. значений параметрических форм шд на элементе 8#^i, система (3) не имеет решения, и надо специально подбирать их, чтобы она была совместна и позволила построить Интегральный элемент 8р, проходящий через 8р—г
В этом случае все цепи, достигающие какой бы то ни было линейный элемент 8Я, — особые^ ибо цепи из регулярных элементов обрываются, не достигая 8Я. Система —г не в инволюции, и её надо продолжать; мы видели, что конечным числом продолжений можно привести систему в инволюцию или обнаружить её несовместность.
Характеристики (Коши). Другой вид особых элементов получится, если для таких элементов уже ранг матрицы (4), т. е. число Р, понижается. Это означает, что все определители порядка Р из этой матрицы равны нулю. В общем случае это накладывает условия на числа ву1, т. е. на значения форм шь определяющих высе-„ чение элемента 8Р _ь
Будем называть такой особый элемент характеристическим (в смысле Коши), а многообразие, которое имеет такие элементы касательными, характеристикой (Коши).
Мы имеем здесь, следовательно, обобщение тех характеристических элементов, которыми мы занимались в предыдущей главе. И те и другие всецело определяются высечением элемента, т. е. условиями на формы ш4, которые остаются независимыми на интегральном многообразии 2К„. Разница между ними в том, что в гл. XI мы рассматривали линейные элементы, находящиеся в инволюции со всеми интегральными элементами, а, теперь мы не делаем ограничений на число измерений элемента, лишь бы он был в инволюции с большим числом (но не со всеми) интегральных элементов, чем его соседние элементы.
В силу теоремы Кэлера (гл. VIII, § 4) характеристика (Коши) всегда влечёт за собой конечные соотношения на предыдущие параметрические wfl, т. е. понижение ранга матрицы (4) для • отдельных значений ву не имеет следствием автоматического понижения

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 360 370 380 390 400 410 420 430


Математика