Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии
 
djvu / html
 

330 ХАРАКТЕРИСТИКИ [гл. xi
жит уравнения
84„2143П
COj з= tt>2 — 0, 0>i = 0)2 = 0)3 ==> «4 = О,
(32) «з2 — (а)29о>23=0, «J _??.„}« о,
Да = Да' =з Д® = 0, Aflj = Даа = Afrj = Д?а = 0.
Так как о>1, ш^ остаются произвольными, то система уравнений (24), (27), (31) допускает характеристики двух измерений. Так как при наличии уравнений (32) точки А^ и А2 могут описывать только две прямые /4i/44, А$Аа (пару соответствующих лучей расслояемой пары конгруэнции), то характеристическое многообразие Мв образовано лучами линейной конгруэнции с директрисами АгА^л A%AS, образованной соответствующими лучами всех оо 2 конгруэнции (С) системы Бланки. Если за независимые переменные задачи принять первые интегралы двух вполне интегрируемых систем
<»1 = «2 = О И 0>i = 0»2 = О»
то последняя пара интегралов не войдёт в систему уравнений (24), (27), (29'), ни в коэффициенты, ни под знаком дифференциалов. Интегрируя систему при условии o»t=a»f'=:0, мы получим одну из конгруэнции С системы Бианки, но так как уравнения системы не содержат переменных, дифференциалы которых линейно выражаются через формы ш*, ш|, то при любом значении этих переменных каждая конгруэнция системы будет определяться теми же самыми уравнениями. Следовательно, все конгруэнции системы проективно-зквивалентны.
§ 8. Задача Бианки
Следующие две задачи имеют целью показать, как, опираясь на понятие характеристических переменных, можно разбить уравнения системы на две группы так, чтобы первая группа определяла, например, некоторый класс поверхностей, а вторая группа — какое-либо построение, связанное с одной из поверхностей этого класса. При этом, в силу инвариантности характеристических переменных, системы отнесения (реперы) при решении первой и второй задач могут быть различнымиJ).
Как мы только что видели (см. предыдущий параграф), две конгруэнции образуют расслояемую пару, если лучи этих конгруэнции можно поставить во взаимно однозначное соответствие и к паре конгруэнции присоединить два семейства поверхностей так, чтобы касательные плоскости поверхности первого семейства в точках пере-
*) Метод решения был доложен в семинаре по дифференциальной геометрии на Ш курсе Московского Университета студентом Г-М- Бам-Зедикович,

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430


Математика