Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии
 
djvu / html
 

310 ХАРАКТВРИвТИКИ [ГЛ. XI
Если же «"as О, то характеристическая система принимает вил
6lS=0, 62 = 0, ..., V=0, (7) 2 = 0, . ..,<йя_1 = 0,
*
I 4 = 0, i = l,2,...,B-l; ? = 1,2,. ..,«,,
Так как она содержит
s--n— I ~-q = n-\-r — 1
уравнений на п-\-г переменных, то система вполне интегрируема. Пусть
У1 = си Уъ— са. • • • » Л+n-i ««• CW»-i> ci — const.,
— её первые г-\-п— I интегралов; они определяют характеристические кривые, которые в каждой точке касаются характеристических линейных элементов.
Присоединим к системе функций ylt у%, . . .,уг+п_г ещё одну функцию уг±п, независимую от предыдущих, и примем их за новые переменные. Тогда, очевидно, все формы 0Й будут линейно выражены через первые г-\-п — 1 дифференциалов dy, а также и формы ai» M2i • • ч шЛ-1> 4-" Наоборот, шя необходимо содержит последний дифференциал dyr+n, иначе форма <оп обращалась бы в нуль как следствие системы (7), что невозможно, ибо по условию ш„ линейно не зависит от форм (7). Так как ни один ковариант Oft не содержит <ап, то ни одна внешняя производная не содержит дифференциала dyn. Это значит, что левые части уравнений системы Пфаффа 6ft = 0 не содержат переменную уп ни под знаком дифференциала dyn, ни в коэффициентах. Итак, если принять за переменные первые интегралы характеристической системы (характеристические переменные), то система Пфаффа будет содержать одной переменной меньше.
Чтобы найти интегральное многообразие 2КП первоначальной системы, достаточно найти интегральное многообразие 2Rra_i новой системы. Новая система имеет те же характеры, кроме последнего, который равен нулю; её жанр п' ниже на единицу:
s' = s, s[=*slt .... ^_1==sn_1, п' = п— 1.
Так как переменная уг+п совсем не входит в уравнения системы, то она остаётся совершенно произвольной. Меняя уг+п, мы перемещаемся по характеристике:
(8) У1 = const., y2 = const., . . .,JV+»-i = const.,
и из интегрального многообразия ^„.j редуцированной системы получаем интегральное многообразие 5Ш,Г Следовательно, всякое интегральное многообразие 5Шга нашей системы есть геометрическое место характеристических кривых (8).

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430


Математика