Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии
 
djvu / html
 

200 СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПФАФФА В ИНВОЛЮЦИИ [ГЛ. VJ
ИДИ
(Y) [dudx] = 0, ,.
(8) [dzrfx] — [d22 dy] = 0. '
Исключая из последнего уравнения dzlt dzs, получим:
(Хг1 >+Уг2 ~ их) [dx dy] — 0. Так как [dxdy] по условию — не нуль, то (е) их = хг± -\-уг%. >
Дифференцируя и исключая dz^, dz%, получим; (С) udx — xdu = 0. '
Внешний дифференциал левой части в силу (?) равен нулю, и значение du обращает в тождество и уравнение (Y). Следовательно, система уравнений (а), (р), (?) , вполне интегрируема.
Уравнение (Е) надо рассматривать как уравнение, на три произвольных постоянных интеграции. Следовательно, интегральное многообразие существует и зависит от двух произвольных постоянных.
Нетрудно получить интеграл в конечном виде. Уравнение (С) непосредственно интегрируется:
и = Сх.
Чтобы проинтегрировать систему (a), (J3), согласно § 4, гл. III, стр. 136, задаёмся путём интеграции из начала координат:
у — tx. Подставляя значения и и у в (р) и используя (е), получим при постоянном t
х dz% = z% dx, откуда с помощью (е):
и = Сх, г} = Сх — С] у,
что удовлетворяет всем уравнениям,
П рим е р 3. Дифференцируя внешним образом заданную систему, имеем
i] -f- [du2 dzi] = 0
и два других уравнения круговой заменой указателей; исключая dz± = = — ~^&Хь получим
[din MJ — din м2, dxj] = О
и два других уравнения круговой заменой.
При построении интегрального элемента g2 из этих трёх уравнений надо определять dut; они содержат их только в виде разностей
Ui = din «^— din щ+ь
сумма которых равна нулю; следовательно, имеем только две независимые комбинации J/j, t/j, l/з = — U\ — U%. Это показывает на невозможность построить неособую цепь интегральных элементов.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430


Математика