Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии
 
djvu / html
 

170 ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ [ГЛ. V
Действительно, внешний дифференциал Dma> есть внешняя форма степени m-j-1; следовательно, в левой части уравнения (13) стоит форма степени р. В характеристических переменных х1г х.3, ...,#р, т. е. в подкольце р измерений, уравнение (13) равносильно одному уравнению, линейному однородному в частных производных первого порядка, которое не содержит самой неизвестной функции. Такое уравнение допускает р — 1 независимых интегралов J). В- силу инва~ риантности системы она допускает те же р — 1 интегралов в произ-вольных переменных.
Нетрудно обнаружить, что каждое решение / уравнения (13) является той переменной xly которая позволяет выделить произведение [dxfi1] в полуканоническом виде (5) или (6) формы Dm.
Действительно, если p — 2/7-J-l, то по формуле (8) v
и уравнение (13) эквивалентно уравнению
!*= О,
которое показывает, что df как делитель монома [Da>]p принадлежит подкольцу формы D(o и может быть принят за дифференциал dxl в полуканоническом разложении (5).
Если р = 2/7, то по формуле (8) мы придём- к уравнению
которое покажет, что дифференциал df может быть принят за дифференциал dx1 в формуле (6).
Мы можем непосредственно притти к каноническому представлению формы m посредством теоремы.
'Теорема. Класс линейной формы понижается на две единицы, если положить постоянным интеграл присоединённой полной си~ стемы.
Если
— один из интегралов уравнения (13) и
— значение формы о> при zt = const. , то из уравнения (13) следует, что Z)P-2a> делится на d?l и, следовательно,
а потому класс формы <о1 не больше, чем р — 2.
*) Степанов, Курс дифференциальных уравнений, 1945, гл. VIII, § 2.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430


Математика