Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии
 
djvu / html
 

13б ВПОЛНЕ ИНТЕГРИРУЕМАЯ СИСТЕМА ПФАФФА [гА. Ili
Так как все уравнения системы алгебраически независимы, то число неизвестных функций не может быть меньше числа уравнений. Иначе мы могли бы исключить дифференциалы всех неизвестных функций, а так как дифференциалы независимых переменных не могут быть связаны никакими соотношениями, то придётся присоединять/ к системе конечные уравнения, полученные обращением в нуль коэффициентов. Если они удовлетворяются тождественно в силу уравнений системы, то ранг системы понижается, и некоторые уравнения системы будут следствием остальных. Если они содержат только независимые переменные, то приводят к противоречию. Если они содержат неизвестные функции, то позволят исключить одну или несколько неизвестных и приведут к новой системе уравнений.
Таким образом, чтобы получить интегральное многообразие наибольшего числа изменений, надо положить число независимых переменных равным разности между общим числом переменных и числом уравнений системы.
§ 4. Система Пфаффа, допускающая интегральные многообразия наибольшего числа измерений
Допустим, что система Пфаффа из г уравнений содержит я независимых переменных и г неизвестных функций. Обозначим независимые переменные буквами Х(, неизвестные функции буквами Zj, так что уравнения системы примут вид
(11) ел==а<Ас« + с?^ = 0, А,/— 1,2, ...,г;г=1,2, ...,я. Мы должны предположить, что определитель системы не равен нулю:
так что систему можно разрешить относительно дифференциалов йг$.
Теорема 1. Система (11) допускает не более одного решения с начальными значениями х®, 2\.
Рассмотрим аналитическое пространство переменных \х^. Возьмём в этом пространстве две точки Ж0 и М± с координатами х® и х\:
расположенные в одной односвязной области 35 непрерывности коэффициентов системы и их производных первого порядка. Покажем, что существует не более одного решения (zj)t принимающего в точке MQ значения г^; а именно: допустим, что такое решение существует, и покажем, что, зная (г$), можно вычислить значения г$, которые получатся, если с этим решением притти в точку МГ

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430


Математика