Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии
 
djvu / html
 

100 СИМВОЛИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ КАРТАНА [гл. п
то at линейно выразятся через формы базиса vk:
(с) ut = A?vk, i,k=l,2,...,n.
Таким образом, не только формы кольца 9t [v] принадлежат кольцу Щ [и], но и наоборот, все формы кольца Щ [и] принадлежат кольцу SR [v]. Оба кольца форм совпадают, и второе кольцо отличается от первого только заменой базиса. Мы скажем, что формулы (с) Определяют замену базиса. Имеем теорему:
Теорема. Любые п линейно независимых форм Пфаффа кольца Щ [и] можно принять за базис кольца.
Вернёмся к системе г линейно независимых форм vlt щ, . . . , vr кольца Щ [и] п измерений. Допустим теперь, что
г<п. Попрежнему имеем:
[4W--«Vl ^0.
Будем умножать это произведение последовательно на ult и%, . . .-, пока не найдём произведение lVjV.2. . .vr иа], не равное нулю. Это произведение будем умножать на aafl, иа+2, и т. д. Мы найдём ровно г — п форм, например иг+1, иг+%, . . . , ип, которые вместе с •»!, fla, . . ., vr дадут произведение, не равное нулю:
Действительно, таких форм не может быть больше, ибо в кольце п измерений Щ [и] все произведения из п -\- 1 множителей равны нулю.
Таким образом ранг кольца JR [и] при замене базиса не может повыситься. С другой стороны, этих форм не может быть меньше, ибо тогда ранг кольца Ш [и] при переходе к новому базису «!, v%, . . . , vr, ur+1, . . ., aw_j понизился бы. При обратном переходе он должен был бы повыситься, а мы только что видели, что это невозможно. Имеем теорему:
Теорема. Всякую систему г линейно независимых форм
(систему ранга г) можно дополнить п — г фор мама
vr+l> vr+& • • • . vn
так, чтобы система всех п форм vk была линейно независима.
§ 7. Лемма Картана
Существует целый ряд предложений, которые позволяют разрешить алгебраическое уравнение, в левой части которого стоит внешняя форма. За основу при этом мы будем брать принцип равенства форм: если внешняя форма равна нулю, то после приведения подоб-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430


Математика