Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии
 
djvu / html
 

10 ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ ИНТЕГРАЛОВ [ГЛ. 1
ний (1) любое число раз по независимым переменным xt, х&..., хп. Совокупность всех этих уравнений (сами уравнения (1) и все их дифференциальные следствия) называется продолженной системой; мы будем обозначать её символом (5'). Это замечание можно сделать и относительно начальных условий (2): интегралы системы (S), удовлетворяющие начальным условиям (2), будут удовлетворять и всем уравнениям, которые получаются из уравнений (2) последовательным дифференцированием произвольное число раз по переменным
^8? •*$'" * *' ^п'
Распределим теперь все производные от г$ на классы по числу дифференцирований по переменной xlt относя к производным нулевого класса сами функции г$ и все их производные по переменным х2, л:3, ..., хп, к производным первого класса — все те производные, которые получаются из производных нулевого класса однократным дифференцированием по jelt к производным класса т — все те, которые получаются из производных класса т—1 однократным дифференцированием ПО Jfj.
Если иметь в виду эту классификацию, то нетрудно заметить, что значения в точке (х?) производных нулевого класса можно получить из уравнений (2) и всех их дифференциальных следствий, если туда внести значения лг2 = лго, хъ=^х\^ . . .,хп = х%. Уравнения системы (S) и те уравнения продолженной системы, которые получены дифференцированием их по переменным xz, Х3, ..., хп, будут содержать в левой части все производные первого класса, а в правой части — только производные нулевого класса. Внося сюда значения х{ = х°, а также найденные уже значения производных нулевого класса, мы вычислим в точке (л:?) начальные значения производных первого класса. Дифференцируя все эти уравнения один раз по xlt мы получим в левых частях все производные второго класса, а в правых — уже известные производные первого и нулевого классов и, следовательно, сумеем вычислить начальные значения производных второго класса и т. д. Мы можем таким образом вычислить производные любого класса; при этом каждая производная будет получаться только один раз; следовательно, никаких противоречий мы не можем встретить.
^ Таким образом, если существует система интегралов, голоморфных в области точки (х^), то мы сумеем написать их разложения по формуле Тэйлора в степенные ряды по разностям х{—jcj. Поставленными условиями интегралы, голоморфные в области точки (jej), определяются единственным образом.
С другой стороны, если эти ряды сходятся и, следовательно, определяют некоторые функции г^, то легко доказать, что они удовлетворяют всем уравнениям системы (1). Для этого достаточно показать, что после подстановки в уравнения (1) построенных разложений

 

1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430


Математика