Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Перельман Я.И. Занимательная геометрия
 
djvu / html
 

А'
Итак, искомая фигура есть фигура выпуклая. Далее мы ожем наперед установить еще и другое свойство этой >игуры: всякая хорда, которая делит пополам ее периметр, ассекает пополам и ее площадь. Пусть фигура AMBN рис. 178) есть искомая, и пусть хорда MN делит ее периметр ополам. Докажем, что площадь AMN равна площади MBN. \ самом деле, если бы какая-либо из этих частей была по лощадн больше другой, например AMN^>MNB, то, перегнув фигуру AMN no MN, мы получили бы фигуру AMA'N, площадь которой больше, чем у первоначальной фи'гуры AMBN, периметр же одинаков с нею. Значит, фигура AMBN, в которой хорда, рассекающая периметр пополам, делит площадь на неравные части, не может быть искомая (т. е. не может иметь наибольшую площадь при данном пери-Рис. 178. Если хорда делит метРе)-
пополам периметр выпуклой Прежде чем итти далее, до-фигуры с наибольшей пло- кажем еще следующую вспомо-щадью.то она рассекает по- гательную теОрему: из всех тре-полам и шощадь. угольников с двумя данными сто.
энамн наибольшую площадь имеет тот, у которого сто-оны эти заключают прямой угол. Чтобы доказать это, :помним тригонометрическое выражение площади S треуголь-ика со сторонами а и Ь и углом С между ними:
S= ^ ab sin С.
Выражение это будет, очевидно, наибольшим (при данных горонах) тогда, когда sin С примет наибольшее значение, , е. будет равен единице. Но угол, синус которого равен 1, ль прямой, что и требовалось доказать.
Теперь можем приступить к основной задаче — к доказа-гльству того, что из всех фигур с периметром р наибольшую пощадь ограничивает окружность. Чтобы убедиться в этом, эпробуем допустить существование некруговой выпуклой нгуры MANB (рис. 179), которая обладает этим свойством. !роведем в ней хорду MN, делящую пополам ее периметр; ли же, мы знаем, разделит пополам и площадь фигуры.
— 280 —

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290


Математика