Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Ляв А.N. Математическая теория упругости
 
djvu / html
 

90
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
Если все ребра тетраэдра малы, то в первом приближении проекции усилия, действующего на грань v, равны ХД ... , а проекции усилий, действующих на три остальных грани, равны — Ху\ cos (х, v),... Сумма проекций на ось х усилий, действующих на все грани тетраэдра, равна приближенно:
Л;Д — ХХЬ. cos (x, v) — Xfi. cos (у, v) — ХгЬ cos (z, v).
*
Пользуясь методом предыдущего параграфа, разделим на Д; мы получим тогда первое из тгех следующих уравнений:
X, = Хх cos (*, v) + Xv cos (у, v) f X. cos (г, v), К, = Yx cos (x, v) + У у cos (у, v) + Уг cos (*. v). Zv = Zx cos (A:, v) -f Z^ cos (y, v) + 2г cos (г, v);
(5)
два последних уравнения получаются аналогичным образом.
При помощи этих уравнений напряжение на любой площадке, проведенной через О, выражается через напряжения на трех площадках, параллельных координатным плоскостям. Эти 7 уравнения дают также соотношения
между напряжениями «а площадках, параллельных координатным плоскостям, проведенных в какой-либо точке на *" ' внешней поверхности тела, и напряжением на самсй поверхности, происходящим от действия какого-либо другого тела, соприкасающегося с первым.
Рассмотрим еще (фиг. 6) очень малый куб, вырезанный в материале, при------9 чем ребра его параллельны осям координат. В первом приближении проекции напряжения на той из двух граней, перпендикулярных оси х, для которой х больше, суть Х^Ь, КХД, Z^A, а для ФИГ. 6. противоположной грани—-Х^Д, — YX&, — Z^A. Аналогичным образом выражаются напряжения на других гранях. Интеграл \ \ (yZ4 — z Х„) dS для куба
равен приближенно 1±(?у—Yg), где / — длина ребер. Пользуясь методом предыдущего параграфа, мы получим первое из трех следующих уравнений:
Zy~Yg> Xt = Zx, Yx = X)i; (6)
остальные два получаются аналогичным приемом. Благодаря уравнениям (6) число величин, которыми определяется напряженное состояние в данной точке, сокращается до шести; этими величинами являются три нормальных напряжения Хх, Yy, Zg и три касательных напряжения Yz, Zx, X . Они называются компонентами напряжения1) в дайной точке.
*) Симметричная система компонентов напряжения равработаиа Кел^вриом (§ 10, сноска); в этой системе компонентами напряжения являются напряжения на шести площадках! перпендикулярных ребрам некоторого тетраэдра.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670


Математика