Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Ляв А.N. Математическая теория упругости
 
djvu / html
 

570 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ тонких ОБОЛОЧЕК
сопровождаться некоторым удлинением. Чтобы заставить оболочку колебаться так, чтобы не было удлинений, нужно было бы приложить силы к ее краям и ее поверхности. Если этих сил нет, то смещение отличается от того, которое .удовлетворяет условиям деформации без удлинений. Однако эта разница для низких частот колебаний должна быть незначительной, так как в противном случае мы имели бы дело практически с продольными колебаниями и частота в действительности не могла бы быть настолько малой, как это соответствует данному случаю. Как можно заключить из формы уравнений движения, удлинение, о котором идет речь, на большой части поверхности весьма мало; только вблизи краев оно будет настолько значительным, чтобы удовлетворялись условия на этих границах 5).
334. Колебания тонкой цилиндрической оболочки. Для иллюстрации теории весьма удобно разобрать детально колебания цилиндрической обр-лочки. Так же как в § 319, а будет радиусом "оболочки, а х, <р будем писать вместо а, ^. Края оболочки образуются двумя окружностями х=1 и х — — /. Согласно § 326 удлиненней изменение кривизны определяется величинами:
йц 1
61=л-. S2^=-
ос а
&w
Смещение есть периодическая функция относительно <р с периодом 2я. Предполагается, что нормальные колебания оболочки имеют частоту *~ ]
Поэтому положим, что и, v, w пропорциональны синусам или косинусам дуг, кратных (р, и также косинусам pt-\-s. После этого уравнения колебания обращаются в систему линейных уравнений с постоянными коэфи-циентами, определяющих и, l>, w в зависимости от х. Установим ниже эти уравнения; предварительно рассмотрим порядок этой системы. Выражения. Sj, ег о содержат только первые производные; выражения *j, Х2, т содержат вторые производные. Таким образом Gj, G2 содержат вторые производные, .a /Va — третьи. Третье уравнение (49), следовательно,
«Ни» ,
содержит — в тех членах, которые опускаются, когда образуется урав-<Ьс*
ненйе колебаний с 'удлинениями. Итак, полные уравнения будут значительно более высокого порядка, чем уравнения колебаний с удлинениями: первые будут восьмого порядка, а вторые — четвертого. Понижение порядка при переходе от полной системы к уравнениям колебаний с удлинениями имеет фундаментальное значение и вообще совсем не зависит от специальной цилиндрической формы средней поверхности.
*) На трудности, возникающие из того факта, что смещения, ие сопровождаемые удлинениями, не допускают возможности удовлетворить условиям на краях, я указывал в моей работе 1888 г. (см. Введение, сноска 133Х Необходимое удлинение практически ограничивается только узкой областью у краев, где оно должно быть настолько значительным, чтобы можно было удовлетворить условиям на краях,; объяснение этого одновременно с указанной работой дано Бэссетом и Ламбом в. цитированных выше на стр. 528 и 559 работах.
Оба автора иллюстрируют возможность такого объяснения ;на рещенрн для статического случая.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670


Математика