Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Ляв А.N. Математическая теория упругости
 
djvu / html
 

550 ОБЩ\Я ТЕОРИЯ тонких ОБОЛОЧЕК
Эти формулы могут быть различным образом проверены.
1) В случае плоской пластинки, когда аир суть декартовы координаты, имеем:
Этот вывод согласуется с формулами в § 298.
2) В случае цилиндрической и сферической оболочек условия, которые должны выполняться для того, чтобы деформация не сопровождалась удлинением, могут быть найдены как частный случай из формул (21), а выражения для изменений кривизны, получаемые путем упрощения формул (26) в соответствии с этими условиями, совпадают с выражениями, полученными в § 319, 320.
3) Предположим, что сфера испытывает небольшую деформацию, при которой смещения, направленные по нормали, таковы, что радиусы сферы обращаются в а+- bPn(cos б), где Ъ есть малая величина, Рп означает л-й полином Лежандра, а в есть полярное расстояние. При помощи формул настоящего параграфа и § 324 можно показать, что с точностью до членов первого порядка относительно Ь сумма и произведение главных кривизн искаженной поверхности будут:
1 + 1(„_1)(я + 2)
Если для какой угодно поверхности определить et, ES, ш по формулам (21) и /?,', ... по формулам (24) и (25), то уравнения (11) удовлетворяются тождественно, если, конечно, мы пренебрегаем квадратами и произведениями и, v , w и их производных.
327. Характер деформации в изогнутой пластинке или оболочке. При
исследовании напряженного состояния в изогнутой пластинке или оболочке мы предположим, ч го деформация ее средней поверхности сопровождается лишь малыми удлинениями линейных элементов, так что искаженная средняя поверхность не отличается значительно от некоторой поверхности, получаемой чистым изгибом первоначальной средней поверхности. Пусть деформированная средняя поверхность задана, представим себе такое состояние оболочки, при котором линейные элементы, направленные до деформации по нормалям к первоначальной средней поверхности, остаются прямолинейными, не изменяют своей длины н будут нормальными к деформированной средней поверхности. Пусть точка Р первоначальной средней поверхности перемещается в течку Р1 искаженной средней поверхности. Пусть х, у, ^ означают координаты точки Р^ относительно неподвижных осей. Точки Р, Р1 соответствуют одной и той же паре значений а, Р. Пусть Q есть точка на нормали к первоначальной средней поверхности в точке Р и z ее расстояние от Р; положительным направлением отсчета для z будем считать направление, принятое на нормали за положительное. Когда оболочка деформируется описанным образом, тогда точка Q переме-' щается в точку Qlt координаты которой будут:
где /3, тя, пя означают так же, как и в § 325, направляющие косинусы нормали к деформированной средней поверхности.
Действительное состояние оболочки, в котором она находится, когда деформированная средняя поверхность имеет заданную форму, может быть получено из описанного состояния путем сообщения точкам Q, некоторых дополнительных смещений. Пусть будут ?, г], С проекции этого дополннтель/

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670


Математика