Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Ляв А.N. Математическая теория упругости
 
djvu / html
 

40 ВВЕДЕНИЕ
энергию изогнутой пластинки через кривизну искривленной средней поверхности. Затем, при помощи принципа возможных работ, были выведены уравнения движения и граничные условия, которые применяются, затем, к колебаниям изгиба круглой пластинки. ' '
Теория пластинок может быть построена при помощи рассуждений того же характера, как и те, которые применил Кирхгоф в теории тонких стержней. Исследование проблемы этим методом было проведено Герингом (Gehring)126), а затем, в улучшенной форме принято Кирхгофом127). Анализ во всех деталях весьма схож с теорией тонких стержней Кирхгофа и приводит к выражению потенциальной энергии иа единицу площади средней поверхности пластинки. Это выражение состоит из двух частей: одна представляет собой квадратичную функцию от величин, которые определяют растяжение средней плоскости, •с козфициентом, пропорциональным толщине пластинки; другая часть есть квадратичная функция от величин, которыми определяется изгиб средней поверхности, с козфициентом, пропорциональным кубу толщины. Уравнения малого движения выводятся при помощи принципа возможных работ. Если смещения всех точек сргдней поверхности пластинки очень малы, то изгиб зависит только от смещении, перпендикулярных средней поверхности пластинки, а растяжение— только от смещений, параллельных этой поверхности. В этом случа'^ уравнения распадаются на две группы. Уравнения нормальных колебаний и граничные условия совпадают с теми, которые были ранее найдены и проанализированы Кирхгофом. Как в теории стержней, так и в теории пластинок определение растягивающих и перерезывающих сил и изгибающих пар, приходящихся на всю толщину пластинки, представляет гораздо больший интерес, чем определение усилий на отдельных плоских элементах, которые в своей совокупности статически эквивалентны этим силам и парам. Для определенности представим себе, что пластинка находится в горизонтальном положении, и будем рассматривать усилия в проведенном мысленно вертикальном плоском сечении; в этом сечении при помощи двух близких вертикальных прямых выделим небольшую площадку. Расстояние между обеими прямыми назовем „шириной площадки". Усилия, приложенные на этой площадке, статически эквивалентны силе, приложенной в центре тяжести площадки и паре. Если „ширина" площадки мала, то величины силы и пары пропорциональны ширине площадки; мы отнесем эти величины к единице длины той линии, по которой наша вертикальная плоскость пересекает среднюю поверхность пла-стинки. Проекции силы и момента пары, определенных описанным образом, назовем проекциями „упругого усилия" и момента „упругой пары". Упругая сила состоит из растягивающей силы, перпендикулярной к площадке, и двух срезывающих сил, горизонтальной и вертикальной. Упругая пара состоит из пары с моментом, направленным по нормали к площадке, которую мы назовем крутящей парой, и из пары, лежащей в вертикальной плоскости, проведенной через эту.нормаль, которую мы назовем изгибающей парой. Упругие усилия и пары .зависят от направления вертикальной площадки, к которой они относятся; но если эти усилия и пары известны для двух вертикальных площадок, то они могут быть определены для всех таких площадок.
»») De Aequationibus diiferentialibus quibus aequilibrium et raotus hupinae crystal-linae definiuntur (Diss.), Berlin ,1860. Этот анализ молснр найти у Kirchhoff, Vorlesun, gen flber math. Physik, Mechanik, а частью в трактате Клебша.
»2") Vorlesungen fiber math. Physik, Mechaijik. ;

 

1 10 20 30 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670


Математика