Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Ляв А.N. Математическая теория упругости
 
djvu / html
 

SO ВВЕДЕНИЙ
Другой метод для определения напряжений в теле развился на основе одной заметки Эри (Airy) 7°). Он заметил, что в случае системы двух измерений рз уравнений равновесия тела под действием поверхностных сил вытекает, что компоненты напряжения могут быть представлены как частные производные второго порядка одной единственной функции. Максвелл (Maxwell) 71) обобщил этот результат на случай трех измерений, для которого пришлось ввести три „функции напряжений". В дальнейшем было обнаружено, что эти функции связаны между собой довольно сложной системой дифе-ренциальных уравнений 72). В' самом деле компоненты напряжений могут быть выражены через компоненты деформации; но эти последние,не неза-| висимы: вторые производные от компонентов деформации по координатам связаны системой линейных уравнений, которые выражают условия, необходимые для того, чтобы компоненты деформации могли быть выражены, согласно обычным формулам, через производные от трех проекций смещения 73). Принимая во внимание эти линейные соотношения, можно составить полную систему уравнений, которым должны удовлетворять компоненты напряжения, и таким образом получить возможность непосредственного определения напряжений без предварительного состаатения и разрешения диференциальных уравнений для проекций смещения 74). В случае системы двух измерений, получающиеся уравнения имеют довольно простой вид, и мы можем получить много интересных решений.
В теории свободных колебаний упругого твердого тела приходится интегрировать .уравнения колебательного движения при заданных граничных условиях, относящихся к напряжениям и смещениям. Пуассон 36) дал решение проблемы свободных радиальных колебаний упругой сферы, а Клебш ьз), по образцу решения Пуассона, построил общую теорию. В эту теорию входит обобщение понятия „нормальных координат" на случай системы с бесконечно большим числом степеней свободы, введение соответствующих „фундаментальных функций" и доказательство тех свойств этих функций, с которыми приходится иметь дело при разложении любой заданной функции по этим функциям. Спор по вопросу о колебаниях струн, стержней, мембран и пластинок, который происходил как до Пуассона так и при нем, подготовил почву для обобщений Клебша. До появления трактата Клебша Ламе49) предложил другую теорию. Будучи знаком с исследованиями Пуассона о двух типах волн, он пришел к заключению, что колебания всякого упругого тела. должны распадаться на два соответствующих класса; в согласии с,этим предположением он исследовал колебания различных тел. То обстоятельство, что его решения не удовлетворяли граничным условиям для тел, поверхность которых свободна от напряжений, в достаточной мере компрометирует его теорию; однако она была окончательно оставлена только после того, как все виды свободных колебаний однородной изотропной среды-были изучены, и было доказано, что классы, на которые они распадаются, не соответствуют
Щ Brit Assoc. Rep., 1862 и Trans. Roy. Phil. Soc., т. 153, 1863, стр. 49.
7t) Truns. Roy. Soc., Edinburgh, т. 26, 1870 нлн Scientific Papers, т. 2, crp. 161.
«) W. J. I b b e t s о n, An Elementary Treatise on the Mathematical Theory of Perfectly Elastic Solids, London 1887.
M) Сен-Венан дал тождественные соотношения между компонентами деформации в изданном им курсе N a v i e r, Resume des lecons surf application de la mecanique, Pafis 1864, Appendice 3.
») J. H. Mich ell, Proc. Math. Soc., London, т. 31, 1900, стр. 100.

 

1 10 20 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670


Математика