Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Ляв А.N. Математическая теория упругости
 
djvu / html
 

190 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
Пусть pv рг,... будут корнями уравнения частот, тогда нормальней колебание с периодом — можно представить при помощи таких формул? u = Arurcos(plt-\-er), v = A/vrcos(plt-\-tr), w =*Arwrcos(pj + e,), (25)
где Ат—произвольный постоянный фактор; «r, vrt wr носят название собственных или фундаментальных функций. ,
Путем наложения различных нормальных колебаний мы получим движение, которое можно представить следующими формулами:
ц = 2аг<Рг. ^ = 2^^. да = 5>,<Р,, (26)
где через <рг обозначена функция Arcos (р^-^-ег). Теорема о том, что любые малые движения в упругом теле можно получить в результате наложения нормальных колебаний, эквивалентна теореме о возможности любое смещение (или любую скорость) представить в виде суммы конечного или бесконечного ряда собственных функций. Эта теорема о разложении функции в ряд по собственным функциям представляет собой обобщение теоремы Фурье и с точки зрения строгого анализа требует еще особого доказательства. Каждая задача о свободных колебаниях опирается на подобного рода теорему о разложениях функций в ряды.
127. Общие теоремы О свободных колебаниях1). 1) В вариационное уравнении движения
Wdxdydz + JJJp (g«e + |>+ g^w) dxdydz = 0, (27)
для величин и, v, w и ia, bv, iw можно принять соответственно такие выражения: игсрг, vflr^iaft, и ui; ws- Обозначим через е какую-либо из шести компонентов деформации и через ег и et— выражения, в которые переходит е, если компоненты смещения и, v, w заменить соответственно через ur,vr,wr и us,vt,wf Вариационное уравнение примет тогда следующий вид:
Ш ^ О?**)dx dy dz=я Шр (и^+*л+WfW^dx dy dz'
Левая сторона этого уравнения остается неизменной, если Поменять места величин ег и вг, т. е. u,v,w представить в виде о^,..., a 8u,tv,tiw — в виде иг<рг,...; тогда в правой части место р2 займет р2. Так как pf и рв друг другу не равны, то отсюда следует, что
0. '" (28)
Этот результат выражает свойство ортогональности собственных функций.
1) Эти теоремы установлены Клебшем как обобщение данной Пуассоном теории колебаний упругого шара. См. Введение, сноска ?3..

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670


Математика